离散数学图论作业：顶点和边均不重复，证明连通图中这样的通路至少多长？

题目：

 

证明如下：

（1）若min取|V(G)| - 1，那么，δ(G) ≧ 1 / 2 * (|V(G)| -  1)，即δ(G) ≧ 1 / 2 * |V(G)|。由狄拉克定理，图中存在哈密顿通路，长度即为|V(G)| - 1。

（2）若min取2δ(G)，则取G中的极大的简单通路。易知通路端点只能与内点相连（否则这不是一条极大通路）。如果通路长度小于2δ(G)，则设通路的点分别为v₁, v₂, ..., v_n，若有 i 满足1 ≦ i ≦ n，使得v₁与v_{i + 1}，v_n与v_i连通，那么这就是一个回路，从回路外任意一点连向此回路即可得到一个更长的通路。下面证明这个回路存在。

 

　　1' 若|V(G)|为奇数，则首先v₁要从除v₂,v_n外的n - 3个点中选择至少(n - 1) / 2个点来连接，以满足其度大于等于δ(G)的条件。选择之后，v_n也要从除v_{n - 1}，v₁外的n - 3个点中选择至少(n - 1) / 2个点连接。这n - 3个点中已经有(n - 1) / 2个点使得连接后会出现前述的回路，剩余的点只有n - 3 - ((n - 1) / 2) = (n - 5) / 2个点可供选择。由鸽笼原理，必然有满足条件的回路存在。

　　2' 与1'同理，若|V(G)|为偶数，v_n可选择的n - 3个点中已有n / 2个点被选，剩下的只有n / 2 - 2个点，由鸽笼原理，满足条件的回路存在。

综上所述，题设得证。