[ 题解 ] [ 最长上升子序列(和) / DP动态规划 ] HDU – 1087 Super Jumping! Jumping! Jumping!

VJudge题目：https://cn.vjudge.net/contest/279505#problem/I

即HDU – 1087 Super Jumping! Jumping! Jumping!：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1087

题意：在起点与终点之间，给出N个数值。你的棋子只能从一个数值向后移动到更大的数值上，然后累加这个数值。

起点和终点没有数值，你可以无视。要求你的棋子从起点移动到终点，在路上累加的值最大。

输入：N，同一行给出N个数值。保证本题所有数据都是32位整数（一般int都是4字节）；

示例：

Input：

3 1 3 2
4 1 2 3 4
4 3 3 2 1
0

Output：

4
10
3

 

https://www.cnblogs.com/Kaidora/p/10514202.html

这是我写的贪心题解，贪心很容易理解，并且有助于理解动态规划。

注意这两题虽然类似但不能类比。总是取最大值 不等于 贪心。

这道题不能用贪心做。纯贪心容易丢失全局最优解。比如：

4 22 77 55 66 

很明显，取22后，放弃77去取55和66，会比取77的结果更大。

但是如果用了贪心，发现77比22大立刻盲目地选择了77，取了77后确实得到了当前的最大值（局部最优解）；

后面检查到55和66时已经不能再选择了，无法得到最终的最大值（全局最优解）。

可能你会问：全局最优解要对全局扫描才知道啊，对N个值循环加循环暴力扫描，不行吧？

确实不行，但是这个所谓全局最优解，并不需要同时对所有值进行扫描；只需要逐步得出每前n个问题的全局最优解就好了。

在你见过这个过程之前，这里没法更详细地展开；为了更形象地解释动态规划，先看看在本题的实际情况：

在这里我随手打了这样一个数据：

11 4 2 3 12 7 10 5 6 8 9 11

如上面所说的，放弃4取2、3，放弃7取5、6，其累加和更大。

下面的11行，给出了从第1考虑到第11的最优解（最大累加和）：

4,
4,2,
4,2,5,
4,2,5,17,
4,2,5,17,12,
4,2,5,17,12,22,
4,2,5,17,12,22,10,
4,2,5,17,12,22,10,16,
4,2,5,17,12,22,10,16,24,
4,2,5,17,12,22,10,16,24,33,
4,2,5,17,12,22,10,16,24,33,44,
44

 

我们从1开始逐步模拟：（建议先自己在纸上写一遍，有助理解）

1（4）：这里只有4可以选，把棋子移动到4，累加和4；
2（2）：前面只有起点可以移动到这里来，累加和2；
3（3）：前面有起点和2可以移动到这里来，累加和分别是0与2，取2累加，得5；
4（12）：前面有4、2、3可以移动到这里来，累加和分别是4、2、5，取5累加，得17；
5（7）：前面有累加和4、2、5，取5累加，得12；
！！！
6（10）：前面有4、2、3、7，累加和为4、2、5、12，取12累加得22；
！！！
7（5）：前面有4、2、3，累加和是4、2、5，取5累加得10；
8（6）：前面有4、2、3、5，累加和4、2、5、10，取10累加得16；
！！！
9（8）：前面有4、2、3、7、5、6，累加和4、2、5、12、10、16，取16累加得24。
！！！
……

注意第6步（10）和第9步（8），在第6的状况下，前面的最大累加和在7这里，7的累加和12就是当时的最优解；

而到了第9步，在这里前面有5和6的累加和，那么取6的累加和16才是现在的最优解。

我想现在你应该想出个所以然来了。虽然贪心和动态规划都不知道/不考虑后面的情况，但是对于第n个问题：

贪心只考虑在目前（一个）状况下（从第n-1问题的答案出发），如何得到最大利益；

动态规划考虑在之前（所有）状况下（从前n-1问题的答案中），如何得到最大利益。

（这个贪心的解释不是在解释上文的“贪心”，而是贪心题解中的算法）

我想在这里你应该明白什么叫局部最优解和全局最优解了：

在贪心算法中，它选择的都是目前（n）的最优解，但在第n个问题的选择，在以后不一定是最优的，所以称局部；

动态规划中，它选择的是前面所有答案（1～n）中的最优解，可以保证在每一步它都是取最优解，所以称全局。

也行目前你分不清贪心和动态规划，在你接触过背包问题这种经典动态规划题后，就能明白贪心和动态规划之间的区别。

本题的思路已经非常清晰，只需实现出来即可：

数组dp[1001]，dp[ i ]的数值就是前面符合条件（nums[前] < nums[ i ]）的dp[前]中的最大值、加上当前这个数值；

最终dp数组中的最大值就是题目的答案。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int N;
int nums[1001]={0};
int dp[1001]={0};

int max(int a,int b)
{
    if(a>b)return a;
    else return b;
}

int main()
{
Start:;
    scanf("%d",&N);
    if(N==0)return 0;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d",nums+i);
    
    int answer=0;
    for(int n=1;n<=N;n++)
    {
        for(int m=0;m<n;m++)
        {
            if(nums[n]>nums[m])
                dp[n]=max( dp[n] , dp[m] );
        }
        dp[n] = dp[n]+nums[n];
        answer=max(answer,dp[n]);
        for(int m=1;m<=n;m++)
            printf("%d,",dp[m]);
            puts("");
    }
    
    printf("%d\n",answer);
    
    goto Start;
}