【学习记录】有正能量的 DP

组合

「KDOI-12」能做到的也只不过是静等缘分耗尽的那一天。

首先要刻画出原问题的充要条件。默认 \(x<y\)，根据笛卡尔树的构造方式，有：

• \(p_x<p_y\)；
• \(\max_{i=x+1}^{y-1}p_i<p_y\)；
• \(\max_{i=1}^{x-1}p_i<p_x\) 或：
  • 设 \(p_z\) 为 \(x\) 左侧第一个满足 \(p_z>p_x\) 的，则要求 \(\max_{i=x+1}^{x-1}p_i<p_x\) 且 \(p_z>p_y\)。

转化成：

• \(p_z=\max_{i=z}^y p_i\)；
• \(p_x=\max_{i=z+1}^x p_i\)；
• \(p_y=\max_{i=z+1}^y p_i\)。

可以分别钦定 \(p_x\)、\(p_y\) 和 \(z\) 的值，组合数计数并大力推导。

记录一个巧妙解法：考虑从大到小往序列中填入权值，则三个 \(\max\) 的条件实际上是一些填入的先后顺序限制关系。容易发现该限制关系是树形的，所以可以用树的拓扑序计数。

答案如下：

\[\frac{n!}{xy}+(\sum_{i=1}^{x-1}\frac{n!}{(y-i+1)(y-i)(x-i)}) \]

里面的部分用裂项处理，最后只需要预处理出 \(\frac{1}{i}\) 的前缀和就可以 \(O(1)\) 查询了。

这里也可以用概率理解。

考虑区间 \([i,y]\) 上的随机排列，位置 \(i\) 为 \([i,y]\) 上最大值的概率为 \(\frac{1}{y-i+1}\)，剩余 \(y−i\) 个位置中，位置 \(y\) 为最大值的概率为 \(\frac{1}{y-i}\)，在区间 \([i+1,x]\) 中，位置 \(x\) 为最大值的概率为 \(\frac{1}{x-i}\)，总排列数为 \(\frac{n!}{(y-i+1)(y-i)(x-i)}\)。

关键点：

• 首先需要第一步的刻画，多手玩样例，类似笛卡尔树这样的常见结构的性质可能多做题就有感觉了。
• 看到一些比较简单/单一的限制关系，可以尝试拓扑序有关。
• 裂项等数学常用推导技巧。\(\frac{1}{xy}=\frac{1}{y-x}(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})\)。

能做到的也只不过是静等缘分耗尽的那一天。

「KDOI-03」构造数组

我忘了 hyy 讲的没前途的做法是什么了。

做法见题解。

关键点：

• 了解到 hyy 大佬提到的没有前途的做法是“先不考虑顺序，然后发现阶乘不好算”。所以不要考虑“先不考虑顺序”。（这是什么意思？）
• 观察解法，发现第一眼容易将复杂度误认为是 \(O(nV^2)\)。但实际上其中的两层循环可以合并成 \(\sum b_i\)，复杂度实际是 \(O(V^2)\) 的。
  分析复杂度时需谨慎，不要把正解当错解。CSP-S2025 T4 好像也有类似的复杂度分析来着。

[RMI 2018] W

最搞笑。

可以学习 wxir，按值域从小到大转移，根据 \(\text{W}\) 的形状设置 9 种（据说）状态，然后一一转移。

也可以学习题解，按值域从大到小转移，根据 五个拐点分别是否确定 设置 \(2^5\) 个（实际上有效的只有 12 种）状态，并分讨仅仅 41 个转移即可。

其实这是隔板法练习题。敢写错一个就调一年。

「OICon-02」Subtree Value

详细做法见题解。

关键点：

• 注意到模数的特殊性质。由于 \(U^V\) 中 \(V\) 很小，结合题目条件中的式子是一个内部乘法，外部加和的形式，所以可以把原式从 \(|S|+a_i\) 转为 \(Ux+(y+a_i)\)，并用乘法分配律优化树形背包 DP。

大哥计数

大哥计数的总结写起来也太累了。而且我还没做重塑时光和岁月。怎么办，先拖一拖吗？啊啊时间好少啊。。我太颓废了。准备跳了吧。3,2,1，足

主旋律

这也太困难了。

https://www.cnblogs.com/Go7338395/p/14907440.html

https://www.cnblogs.com/Linge-Zzzz/p/18819098

重塑时光

这更困难了。

岁月

完全不会。

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状压

绝顶之战

好题啊。

容易发现，填入一个物品后，一段空区间就被划分成了两个互不影响的子区间，构成两个子问题。

这个很适合 DP。但没有限制的情况下不好 DP，于是先枚举 \(T\) 表示 \(T\) 中的物品一定不选。

我们是可以判断某长度的区间能否放下状态 \(S\) 里的物品的。但是这么设状态很浪费。所以我们把长度放进 DP 值里。

设 \(f_S\) 表示 \(S\) 里的物品最长可以放到的长度，得到一个区间 \([\sum_{i\in S}a_i,f_S]\)。

先把 \(S\) 中编号最小的 \(x\) 拿出来，枚举放在该物品左边的物品集合，即 \(S/x\) 的一个子集，转移 \(f_S=\max\{f_{S1}+f_{S2}+a_x-eps\}\)。

注意到对于 \(f_S\) 还有一个限制，即 \(T\) 中所有编号小于 \(x\) 的长度都必须大于 \(f_S\)，否则这个区间就会被放入 \(T\) 中的一个物品。二者取最小值即可。

实现直接用记忆化搜索即可。令 \(X\) 为 \(T\) 的补集，check 的条件显然是 \(f_X\ge m\)，若不满足此条件，一些属于 \(T\) 集合的元素可能会被放入，就不合法了。

一个细节：转移里面的 \(eps\) 太讨厌了。直接去掉 \(eps\)，并把 check 条件改成 \(f_X>m\) 即可。

感觉这道题的总结写得太意识流了。关键点（不会组织语言所以抄袭了 jr_zch 大佬的）：

• DP 的值域为 0/1 或者较小的时候可以考虑交换 DP 的状态和值域。
• DP 转移中的贡献或者限制有后效性，但是贡献和限制只和最后的整体形态有关，那么就可以提前对整体形态的某个量进行枚举，算答案时仅计算符合枚举条件的部分即可。

树形

[POI 2021/2022 R2] age

我们组是不是每个专题都会有一道搞笑题？

原树可以分成若干个联通块，每个块里有且仅有一个关键点，由它遍历块内所有点，并在某个点结束遍历。

它需要的天数即为 块内边数的两倍 减去 块内距离关键点最远的点 与它的距离。

所以直接 DP，算以每个关键点为起点，互不相交的若干条路径的和的最大值。

状态：

• \(dp_{u,0}\) 表示点 \(u\) 子树内已决策完毕，没有点作为新路径的一部分；
• \(dp_{u,1}\) 表示点 \(u\) 子树内有一个普通点作为一条未确定路径的端点；
• \(dp_{u,2}\) 表示点 \(u\) 子树内有一个关键点作为一条未确定路径的端点。

直接转移就行了。

关键点：

• 把问题转化成求一个新东西的最值。因为原问题不好求。这算什么套路吗，这不是每道题的基操吗。叽里咕噜说啥呢。

『SpOI - R1』架子鼓可以站 C

首先答案大于等于原树的直径，且每次修改不会改变 不经过点 1 的路径 的长度。所以若新的直径长度大于原长，新直径一定经过 1。

观察一会就可以发现，在树中任选两条不相交且不经过点 1 的路径，可以实现把它们都接到 1 下面，构成一个新的最长直径。构造很简单，答案是最优的是咋证来着我不会啊。看题解吧。

所以求，两条不相交且不经过点 1 的路径的长度和的最大值。发现这个问题跟上一道题没啥大区别，类似的方法直接 DP 即可。

看来题单里的搞笑题并不只有我们组的题。

关键点：

• 注意到一些特殊性质。观察题目操作的特点。感觉还是说了跟没说一样。

[USACO23DEC] Cowntact Tracing P

我不知道这个贪心为什么是对的啊呜啊啊谁来救救我呜啊啊