【总结】学习记录（2025.2.17-3.2）

省选集训记录。

upd on 2.28：

完了，明天省选了，一点没写。

那就把复习到的一些关键点记在这里。

图论

• Tarjan 求连通分量，强连通分量记得很熟了（模板）。

  1. 点双求割点，判断符号 \(\geq\)，点双用边集表示。
  2. 边双求割边，判断符号 \(>\)，边双用点集表示。

  具体而言，割点属于多个点双，点双中的边只属于一个点双。割边不属于任何一个边双，每个点都属于唯一一个边双。
  在具体题目中如何使用重点关注题目的要求在边还是在点（对应割点和割边），以及题目对于连通分量的定义是路径上点不重复还是边不重复（对应点双和边双）。

• 点分治。学了不久，理应复习。
  核心思想：处理树上路径有关问题。
  一个子树内的路径分为经过子树根和不经过子树根两种，经过根的路径可由两条根到某个节点的路径拼接。
  对于一颗子树，从根节点遍历，记录下根节点到每个节点的路径信息，然后合并。合并过程中可能出现两点在同一个子树内，处理完根节点的答案后需要计算每个子树内节点两两合并的答案，减去不合法的答案。
  为了保证时间复杂度，对每个子树，用重心作为子树根。
  代码细节繁多，考前可多熟悉其中有关求重心的部分。

• 动态点分治（模板）。在点分治的基础上增加修改操作，一般针对点/边权。
  核心思想：由于树的形态不改变，所以建出点分树，修改时需修改点在点分树上的祖先的信息。

数据结构

• 李超线段树模板。
  • 核心思想：加入一条直线/线段，查询某个点的最优值。
    对于线段树上的每个区间记录 \(mid\) 处的最优线段信息。加入一条线段与其比对，若在 \(mid\) 处更优则交换两条线段，并递归处理交点所在区间（左或右），若一条线段完全优于另一条则不递归。
    通过此标记永久化思想，查询时算出所有经过的区间中的最优值即可。
    若加入均为直线则时间复杂度 \(O(n\log n)\)，若为线段则现需要在线段树上找到完全包含的区间，再对于每个区间修改，时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。
    线段的插入同样需要在线段树上找到完全包含的对应区间再修改。
    李超线段树是小常 \(\log^2\)，写的时候要注意精度问题，比较时加上 \(eps\)。
• 可持久化线段树模板。
• 平衡树，就不管了，才学了一天，省选就算用上了也调不出来。
• st 表的写法随便研究一下就行。某些不需要修改的情况下 st 表优于线段树和树状数组（注意信息需要可合并）。
• 线段树合并。断边逆操作，树形 dp 等情况可考虑。
• 分块。在某些时限看上去可行，并且信息很难用线段树一类的数据结构维护时可以考虑分块。代码相较线段树等更加灵活，细节更多，写时注意仔细。
• 哈希表。模板。

思想技巧

• 根号分治。没有思路的时候可以想想根号分治，有奇效。好题题解。
  在时间复杂度允许的情况下可以带 \(\log\)，因此设定块长时要注意两边时间复杂度差异（有条件也要注意常数），设定合适的块长。
• 离线思想。
  • 询问离线，线段树+扫描线。
  • 线段树分治（模板）。
    核心思想：会撤销的修改，不好直接维护的信息（例如图上的信息）。
    离线，记录下修改的开始与结束时间，以时间点为下标建立线段树，把修改的询问挂在线段树的区间节点上。其中需要用到可以维护撤销信息的数据结构（可撤销并查集等）。

总结

最后仍然没有复习完。

不过现在都结束了，也是开始下个阶段，继续学省选知识了。

至于集训记录嘛，只能先搁置了。学的很多杂七杂八的知识，只好留待以后再做总结了。

现在也是忙起来了呢，体训开始上强度了，中考也就在眼前，因为补课还有一大堆新知识没有怎么练题，集训时学的东西也没怎么练，只好之后慢慢补了。

不过晚上睡太晚会很难受。还是身体为重吧。

接下来一个月多一点，准备体育中考和竞赛上新课。接着就回去备战中考了。多的也不说了，中考加油！