数学分析题 和 初中几何题

大前天 一起 看到 数学吧 的 两个帖子，   《求助一道数学分析题目》    https://tieba.baidu.com/p/9318083225   ，    《初中几何竞赛题，大神们指导一下》      https://tieba.baidu.com/p/9313074655   。

 

一起 是 同一时间 先后一点 。

 

我在  《求助一道数学分析题目》  18 楼 回复   @瑞霂泠晶  ，

“

前几天你在 关于三阶导数的证明 4 楼说了 多项式拟合，今天，我们在这里用 正弦函数拟合，叫 “正弦函数拟合大法” 。

正弦函数 也满足 | f ' (x) | <= 1 ， 可以用 正弦函数 拟合夹逼 。

正弦函数 和 正弦函数 拟合夹逼，正弦函数 和 锯齿波（三角波）拟合夹逼， 其实正弦函数 主要是提供了一个样例，实际上不一定用 正弦函数 证明，这题直接证明应该不难 。

”

 

来 做一做 《求助一道数学分析题目》 里的 题，  

记   

f2 ( x ) = f ( f ( x ) ) 

f3 ( x ) = f ( f ( f ( x ) ) )

f4 ( x ) = f ( f ( f ( f ( x ) ) ) )

……

f_n-1 ( x ) = f ( …… f ( x ) )   ,   n - 1 个 f ( x )  嵌套

fn = f ( …… f ( x ) )   ,   n 个 f ( x )  嵌套

 

fn ′ ( x )  =  f ′ ( f_n-1 ( x ) )  *  f_n-1 ′ ( f_n-2 ( x ) )  *  f_n-2 ′ ( f_n-3 ( x ) )  *  ……  *  f3 ′ ( f2 ( x ) )  *  f2 ′ ( f ( x ) )  *  f ′ ( x )

因为  | f ′ ( x ) |  <  1  ，  所以  f  ′ ( f_n-1 ( x ) ) ,  f_n-1 ′ ( f_n-2 ( x ) )  ,  f_n-2 ′ ( f_n-3 ( x ) )  ,  ……  ,  f3 ′  ( f2 ( x ) )  ,  f2 ′  ( f ( x ) ) ,  f  ′ ( x )   的 绝对值 都 小于 1，  它们 的 乘积 的 绝对值 也 小于 1，      当 n -> 无穷 时，   它们 的 乘积 -> 0 ，   即  当 n -> 无穷 时，  fn  ′  ( x )  -> 0  。

 

当 n -> 无穷 时，   fn  ′  ( x )  -> 0 ，   这意味着  当 n -> 0 时，   fn ( x )   趋于 一条 平行于 x 轴 的 直线，  这样，  无论 x 取任何值，  fn ( x ) 都趋于同一个值， 当然，  xn 也就收敛于一个 确定的值 。

 

值得注意的是，  此时，  对于一个 确定的 x ， xn 收敛于一个 确定的值，  不仅如此，  刚刚也说了，  对于 任意 的 x（无论 x 取任何值）， xn 都收敛于 同一个值，  这个过程值得思考，  可以换个问法，  比如，  可以问，   存不存在这样的情况，  xn 收敛，  但 不同的 x 对应的 xn 收敛的值不一样  ？

 

其实 上面的证明 并不严格， 存在漏洞， 当 n -> 无穷 时，   fn ′ ( x ) , f_n-1 ′ ( x ) , f_n-2 ′ ( x ) , f_n-3 ′ ( x )  都趋于 0 ， 但  fn ( x ) , f_n-1 ( x ) , f_n-2 ( x ) , f_n-3 ( x )    并不一定 趋于 同一个值，  它们之间 可能是 跳跃 的 关系，   这样的话，   还能说  xn  收敛吗  ？

 

以上告一段落，  接下来看 题目 的 一个 特例 。

 

若 x = 0 时，  f ( x ) = 0 ，  这是 题目的 有一个 特例 。

 

一般的，   f ( x ) = f ( x ) - f ( x₀ ) + f ( x₀ )

设   ⊿ x = x - x₀   ，  ⊿ y = f ( x ) - f ( x₀ )   ，  C = f ( x₀ )

则   f ( x ) = ⊿ y + C  ，  C 为常量   

 

因为  | f ′ ( x ) | < 1 ，  可知  | ⊿ y | < | ⊿ x |  ，  若 x₀ = 0 ，  f ( x₀ ) = 0 ，   则

C = 0

f ( x ) = ⊿ y + C = ⊿ y + 0 = ⊿ y 

⊿ x = x - x₀ = x - 0 = x

即 

若 x = 0 ，  f ( x ) = 0 ，  则 f ( x ) = ⊿ y ，  x = ⊿ x 

因为 | ⊿ y | < | ⊿ x | ， 所以  | f ( x ) | < | x | ，  所以  f ( …… f ( x ) )  嵌套 的 绝对值 越来越小，  当 嵌套次数 n -> 无穷 时，   f ( …… f ( x ) ) 会 趋于 0，  或是 趋于一个 绝对值 大于 0 的 值  ？    总之， 可以说  f ( …… f ( x ) )  收敛于一个 确定的值 吧，  这里不会有 跳跃 吧 ？

 

还真会 跳跃，   这里只证明了   f ( …… f ( x ) )  的 绝对值 收敛于一个确定的值，  绝对值 是 收敛了，  但 符号 一直在变呢  ？    fn ( x ) 是 正，  f_n-1 ( x ) 是 负，  f_n-2 ( x ) 是 正，  f_n-3 ( x ) 是 负，  这样 变来变去，  又成 跳跃 了 。

 

 

我觉得 数学分析题 不难，  初中几何题 比 数学分析题 难 。

 

数学分析题 你只要去 “分析” 就行了，  初中几何题 你又不能用 解析几何 和 代数方程 甚至 超越方程 去计算它的 “数值解”，  必须用 几何方法 证出 “解析解” 。

 

当然，  几何方法 也有 解析几何 和 代数方程，   并不是说 几何方法 没有 解析几何 和 方程 。

 

这里的  “数值解”  和  “解析解”  是 打引号 的，  意会就行 。

 

要用 几何方法 证出 “解析解”，   需要 一些 几何方法， 或 这些 几何方法 的 组合，   这些 几何方法 类似 “套路”，  套路 需要 思考发现， 或是 经验，  一些 比较复杂 的 初中几何题 需要 多个 几何方法 组合起来，   多个几何方法 排列组合 会产生 许多 组合，  每一个 组合 就是 一条 解题路径，  排列组合产生 的 组合很多， 也就是 解题路径 很多，  要从 这么多 解题路径 中 找出 能 解题（证明题目） 的 路径，  需要花很多时间 思考尝试 。

 

数学分析题 更像 面向过程编程，    初中几何题 更像 设计模式 的 控制反转 。