做题，求原函数。

高级民科吧   @黎合胜   《做题，求原函数。》         https://tieba.baidu.com/p/8339781256       。

 

明天 发 解题过程   。

 

 

 

 

本文  已发到 反相吧  《做题，求原函数。》         https://tieba.baidu.com/p/8341549012       。

 

 

 

 

 

 

dy / dx = ( x ² + y ² ) / ( x y )

x y dy =   ( x ² + y ² )  dx

x y y ′ dx   =    x ²  dx  +   y ²  dx

x * 1/2 *  ( y ² )  ′   dx  =    x ²  dx  +   y ²  dx

1/2  *   ʃ  x   ( y ² )  ′  dx   =   ʃ   x ²  dx  +    ʃ  y ²  dx

1/2  *   [   x y ²  -    ʃ   y ²  dx   ]   =   1/3 x ³   +   ʃ  y ²  dx

x y ²  -    ʃ   y ²  dx   =   2/3 x ³  +   2   ʃ  y ²  dx

3   ʃ  y ²  dx  -  x  y ²   +    2/3 x ³    =    0              (1) 式

 

设   u =  ʃ  y ²  dx    ，     (1) 式  可看作

3 u   -   x u ′  +    2/3 x ³    =    0                           (2) 式

 

3 u   -   x  du / dx  +  2/3 x ³    =    0                    

3 u dx   -   x du   +   2/3 x ³   dx   =    0                (3) 式

3  ʃ  u dx   -   ʃ  x du   +    ʃ  2/3 x ³   dx   =    0

3  ʃ  u dx   -   ʃ  x du   +    1/6  x ⁴     =    0

3  ʃ  u dx   -   ʃ  arc ( u ) du   +    1/6  x ⁴    =    0               (4) 式

 

从 (3) 式 开始，   还可以这样，

3 u dx   -   [ d ( u x )  -  u dx ]   +   2/3 x ³   dx   =    0

3 u dx   -   d ( u x )  +  u dx   +   2/3 x ³   dx   =    0

4 u dx   -   d ( u x )   +   2/3 x ³   dx   =   0

ʃ  4 u dx   -   ʃ  d ( u x )   +   ʃ  2/3 x ³   dx   =    0

4  ʃ  u dx  -  u x  +   1/6  x ⁴    =    0                         (5) 式

 

从   (4) 式   (5) 式  要 怎么 接着 往下做，   就不知道了，    有空 再想想   。

 

 

 

 

 

 

其实 从 6 楼 第 4 行  可以 约掉 dx 得到    

 

x * 1/2 *  ( y ² )  ′   =    x ²   +   y ²  

 

设   u = y ²

 

1/2 x u ′  =   x ²   +   u

 

 

 

 

 

7 楼  的   1/2 x u ′  =   x ²   +   u   ，    如果 等式左边 没有  1/2  这个系数，      那么可以

 

x u ′  =   x ²   +   u   

x u ′  -   u   =   x ²  

( x u ′  -   u  )  /  x ²  =   1

( u / x )  ′  =    1

ʃ   ( u / x )  ′  dx  =  ʃ 1 dx

u / x  =  x  +  C   ,    C 为 任意常数   

u = x ²  +  x C      

 

注意，  这里是说 如果，  不是  原题 的 答案   。

 

因为 大概 看到 楼上  “换元法”   、“y / x”，     就 想到 以上  。

 

 

 

 

 

 

1/2 x u ′  =   x ²   +   u

x u ′  =   2 x ²   +   2 u

x ² u ′  =   2 x ³   +   2 x u

x ² u ′  -   2 x u   =   2 x ³

(  x ² u ′  -   2 x u  )  / x ⁴   =   2 / x

( u / x )  ′  =   2 / x  

ʃ   ( u / x )  ′  dx  =   ʃ  2 / x  dx

u / x  =  2 ln | x |  +   C   ,    C  为 任意常数

u  =  2 x  ln | x |   +   x C       

 

我 大概 看到 楼上  “换元法”   、“y / x”，    也看到 答案 似乎 和  ln  、log  有关，   但 没有看 具体的 解题过程  。

 

做这题 增长了 不少 经验值，  也对 原方程  dy / dx = ( x ² + y ² ) / ( x y )  和  1/2 x u ′  =   x ²   +   u   这一类 方程 的 结构特性 有了 深入了解，  这类方程 用 分部积分法 可以 一直变形下去，   但 始终消除不了   导数 前 的 系数  x   。   另一方面是，   会 同时存在  函数 和 反函数 的 积分，  比如   ʃ  u dx  和  ʃ  arc ( u ) du  ，    见   6 楼   (4) 式  。

 

 

 

 

 

 

1/2 x u ′  =   x ²   +   u

x u ′  =   2 x ²   +   2 u

x u ′   -    u   =   2 x ²   +   u

(  x u ′   -    u  )  /   x ²   =   2  +  u / x ²

( u / x )  ′   =    2  +  u / x ²

设   v  =  u / x

v ′  =  2 +  v / x

x v ′ =  2 x  +  v

ʃ  x v ′ dx  =  ʃ  2 x dx  +  ʃ  v dx

x v -  ʃ  v dx  =  x ²  +  ʃ  v dx

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

接着  7 楼，

 

1/2 x u ′  =   x ²   +   u

x u ′  =   2 x ²   +   2 u

ʃ  x u ′  dx  =   ʃ  2 x ² dx   +   ʃ  2 u  dx

x u  -  ʃ  u  dx   =   2/3 x ³   +   2  ʃ  u  dx

3   ʃ  u  dx   =   x u  -   2/3 x ³ 

 

设   v  =