@多项式之父 的 那些题

这篇 文章 的 起因 是   《二元三次不定方程》     https://tieba.baidu.com/p/8166246630     21 楼   。

 

@多项式之父 的 题 比如    《二元三次不定方程》  ，          《2022年度初等数论数学卷（一）》       https://tieba.baidu.com/p/8128054640     。

 

《二元三次不定方程》  里 的 题 ：     x^3+1=999030601y，求y0，x0=？     

 

其实  解  二元三次不定方程 和  二元一次不定方程  一样，       令  u = x^3 ，    则   u + 1 =  999030601y  ，     这 就 变成了  二元一次不定方程   。

 

解 出   u + 1 =  999030601y  ，     整数解 是    ( u1, y1 ) ，  ( u2, y2 ) ，  ( u3, y3 )   ……       

 

u1, u2, u3  ……   开三次方，     若 结果 仍然 为  整数，    则  这些 结果 就是   x^3+1=999030601y   的 解   。

 

 

求 整数解 的 话，      二元一次 不定方程  可以 这样解， 

 

u + 1 =  999030601y  

u / 999030601   +   1 / 999030601   =   y

 

u , y   为 整数，      u / 999030601  的 余数 记为   p，   若  p + 1 = 999030601 ，    则   u / 999030601   +   1 / 999030601   为  整数，   此时，   u , y  是 方程 的 整数解  。

 

p + 1 = 999030601

p  =  999030601  -  1

p  =  999030600

由此可得，     u  =   n * 999030601  +   p  =  n * 999030601   +   999030600，      n  取  0 和 自然数

n = 0 时，     u = 0 * 999030601   +   999030600

n = 1 时，     u = 1 * 999030601   +   999030600

n = 2 时，     u = 2 * 999030601   +   999030600

……

 

这些 u 和 对应 的 y  就是    u + 1 =  999030601y    的 整数解，     当然，  以上 只是 正整数解，    类似的，   还可以 求出 负整数解  。

 

这些 u 开三次方，    若 结果 仍然 为  整数，    则  这些 结果 就是   x^3+1=999030601y   的 解 ，   这需要  遍历  这些    u   ，     这种 方法 称为  遍历法，  也 称为   一般方法  、常规方法  、传统方法    。

 

一个 整数 的 三次方根  仍然 是 整数，   这个 概率 比较小，   可以 计算一下   。      一个整数 的 三次方根（立方根）  刚好也是 整数，    这个 整数 称为  立方数   。    在  [ 0, u ]  任取一个 整数，     这个 整数  是  立方数 的 概率 是 多少   ？       x ³ = u ，       [ 0, u ]  内 实数（包括 整数）  的 立方根 在  [ 0, x ] 内，      [ 0, u ]  内 整数 的 整数 立方根  在  [ 0, x ]  内，    于是，    在  [ 0, u ]  任取一个 整数，     这个 整数  是  立方数 的 概率 是    x / u = x / x ³ =  1 / x ²  =  1 / u^(2/3)    。

 

“在  [ 0, u ]  任取一个 整数，     这个 整数  是  立方数 的 概率 是 多少   ？”  和   “给定一个 整数，    这个 整数 是 立方数 的 概率 是 多少 ？”     是  不一样 的，   后者 怎么算，  大家想想      。

 

按照 @多项式之父  的 思路，    还可以这样 解  二元三次不定方程，

 

 

 

 

 

 

就在 写 本文 的 这几天，   @多项式之父  又 发了   《出的题不能太简单，不然会被嘲讽没水准》      https://tieba.baidu.com/p/8175420636  ，     《一个小小的方程》     https://tieba.baidu.com/p/8177152535      。