数学吧 《这个谬论应该怎么反驳》

数学吧 《这个谬论应该怎么反驳》    https://tieba.baidu.com/p/7810412720    。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一个 方程 自己 和 自己，  或 和 其它 一些 等式 进行 一些 运算，   得到一个 新的 方程，   新的方程 修改了 原方程 的 含义，     简单的说，   新的方程 已经 不是 原方程 了  。

 

通常，   这个 现象 称为  “增根”，    但 实际上，  “增根”  说的 并不全面，  重点 是，    新的方程 已经 不是 原方程 了  。

 

 

一个 等式 自己 和 自己，  或 和 其它 一些 等式 进行 一些 运算，   得到一个 新的 等式，   新的等式 修改了 原等式 的 含义，     简单的说，   新的等式 已经 不是 原等式 了  。

 

 

我 在 《知乎 ： 有什么你认为很简单的问题实际的证明却很复杂？》  https://tieba.baidu.com/p/7560195420   的   4 楼  说

 

“进一步， 还发现 用 一个 或 一些 等式 代入/运算 若干次， 得到 的 仍然 是 一个 等式， 这个 等式 可以看作 一个 方程， 这个 方程 的 解 包含了 这些 等式， 但 也 有 其它 的 解 。”

 

 

之前 我写的 《转一个 民科吧 的 帖 ： 数学大厦竟如此不堪一击》   https://tieba.baidu.com/p/7518364469     也 提到 类似 的 问题，

 

有 网友 说 是 增根，    我觉得 增根 还是 次要的，    主要 是   x ² + x + 1 = 0      这个 方程 没有 实根  。 

 

 

 

 

本文 已 发到  反相吧  《数学吧 《这个谬论应该怎么反驳》》   https://tieba.baidu.com/p/7811139429   。

 

 

4 楼

很多时候，   问题出在  “不是 代入”   。

 

比如，   x = x + 1 ，  自己 和 自己 相加，  可以是  

 

x = x + 1

x = x + 1 

两式相加，  得    

2 x = 2 x + 2  

x = x + 1

 

也可以是   

x = x + 1

x + 1 = x 

两式相加，  得

2 x + 1 = 2 x + 1

0 = 0

 

一个 是  x = x + 1，   一个 是  0 = 0，    这就有 问题 了  。

 

如果 是 代入 的 话，     把   x = x + 1  代入   x = x + 1 ，

x + 1 = ( x + 1 ) + 1

x + 1 = x + 1 + 1

x + 1 = x + 2

x = x + 1

 

以上  。

 

由于 不是代入，    就 埋藏了 逻辑问题  。

 

值得注意的是，     解 二元一次方程组 时，   可以让 两个 方程 相加减 消元，    这和 代入消元 是 等价 的  。

 

当然，   代入 也会  产生 增根，   比如   

 

x ² + x - 1 = 0

x = 1 - x ²

把    x = 1 - x ²    代入   x ² + x - 1 = 0

( 1 - x ²  ) ²  +  ( 1 - x ² )  -  1  =  0

1 - 2 x ² + x ⁴  +   1 - x ²  -  1  =   0

x ⁴   -  3 x ²   +   1   =   0

 

原方程   x ² + x - 1 = 0  ，    新方程  x ⁴   -  3 x ²   +   1   =   0 ，    新方程 产生了 增根 。

 

也可以这样 代入，

 

x ² + x - 1 = 0

x ² = 1 - x

x = 根号 ( 1 - x )

把   x ² = 1 - x  和  x = 根号 ( 1 - x )  代入   x ² + x - 1 = 0

( 1 - x ) + 根号 ( 1 - x ) - 1  =  0

( 1 - x ) - 1  =  - 根号 ( 1 - x ) 

1 - x - 1  =  - 根号 ( 1 - x ) 

- x  =  - 根号 ( 1 - x ) 

x ² = 1 - x

x ²  + x - 1 = 0

 

哎 ？   这次 变回来了，   新方程 和 原方程 一样 。

 

还可以，    把  x ² = 1 - x  和  x = 1 - x ²  代入    x ² + x - 1 = 0 ，    x ² = 1 - x  替换 x ²，   x = 1 - x ²   替换  x ，

 

1 - x + 1 - x ² - 1 = 0

- x ²  - x + 1  =  0

x ²  + x - 1  =  0

 

这次 也 变回来了，   新方程 和 原方程 一样 。

 

还可以，    把  x = 根号 ( 1 - x )  和  x ² = ( 1 - x ² ) ²  代入    x ² + x - 1 = 0 ，    x = 根号 ( 1 - x )   替换 x，   x ² = ( 1 - x ² ) ²   替换  x ² ，

略  。

  

如果 方程 是  2 x ² + x - 1 = 0 ，     又 是 怎样 的 景象 ？

 

小朋友们，   你们 发现 什么 规律 了 吗  ？           

 

这些规律 可以 表述 为 一个 定理，   称为   “等式运算变换规则”，   或  “等式运算变换定理”，  以后发表  。

 

 

 

 

 

 

还可以 再 试试 一些 其它的 代入 的 做法，   虽然 这些 做法 可能 是 有问题 的， 不合理 的  。

 

比如，    把   x ² = 1 - x   代入   x ² + x - 1 = 0 ，   只 替换 x ²，   x 保持不变，

1 - x  +  x - 1 = 0

0 = 0

原方程   x ² + x - 1 = 0  ，    新方程  0 = 0  。

 

比如，    把   x = 根号 ( 1 - x )    代入  x ² + x - 1 = 0 ，   只 替换 x，   x ² 保持不变，

x ² + 根号 ( 1 - x )  - 1 = 0

x ² - 1 =  - 根号 ( 1 - x )  

( x ² - 1 ) ² =  [ - 根号 ( 1 - x )  ]  ²

x ⁴ - 2 x ² + 1 = 1 - x

x ⁴ - 2 x ² + x = 0

原方程   x ² + x - 1 = 0  ，    新方程  x ⁴ - 2 x ² + x = 0 ，    新方程 产生了 增根 。

 

比如，   把  x = 1 - x ²   代入   x ² + x - 1 = 0 ，   只 替换 x，   x ² 保持不变，

x ² + 1 - x ² - 1 = 0

0 = 0

原方程   x ² + x - 1 = 0  ，    新方程  0 = 0  。

 

比如，   把  x ² = ( 1 - x ² ) ²   代入   x ² + x - 1 = 0 ，   只 替换 x ²，   x 保持不变，

( 1 - x ² ) ²  +  x - 1 = 0

1 - 2 x ² + x ⁴  +  x  - 1  =  0

x ⁴  - 2 x ²  +  x  =  0

原方程   x ² + x - 1 = 0  ，    新方程  x ⁴ - 2 x ² + x = 0 ，    新方程 产生了 增根 。

 

如果 方程 是  2 x ² + x - 1 = 0   呢  ？

 

 

 

 

二元一次方程组

x + y = 0

2 x + y = 0

 

如果 直接相加

3 x + 2 y = 0

得到的 这个方程 是 一个 不定方程，   可以说 和 原方程组 没什么 关系  。