证明 夹逼定理 和 洛必达法则
夹逼定理 和 洛必达法则 是 广大师生 耳熟能详 喜闻乐见 的 求极限 定理 。
这篇文章 也是 由 《这一题该怎么证明？》 https://tieba.baidu.com/p/7541594883 这个 帖 引出来 的 ， 为什么 说 “也” 呢 ？ 《这一题该怎么证明？》 里 列了 几道题， 我先做了 第 21 题， 见 《一道数学题 ： 数列 { bn } 收敛， 证明 { an } 也收敛》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15306962.html 。 然后 又 看了 第 19 题， 想到了 夹逼定理， 进而 又 想到了 洛必达法则 。
证明 夹逼定理 ，
设 数列 { an } 、{ bn } 、{ cn } ， an < cn < bn ， 当 n -> 无穷 时， an -> A， bn -> A， A 为常量 ， 试证明 cn -> A 。
因为 an < cn < bn ，
cn - an = d1 ， d1 > 0
bn - cn = d2 ， d2 > 0
bn - an = d1 + d2
当 n -> 无穷 时， an -> A， bn -> A，
于是， 当 n -> 无穷 时， bn - an -> A - A = 0 ，
bn - an = d1 + d2 -> A - A = 0
d1 + d2 -> 0
因为 d1 + d2 -> 0 ， d1 > 0 ， d2 > 0 ， 所以 d1 -> 0 ， d2 -> 0 ，
因为 cn - an = d1 ， cn = an + d1 ， 当 n -> 无穷 时， an -> A， d1 -> 0 ，
所以， 当 n -> 无穷 时 ， cn = an + d1 -> A + 0 = A
当 n -> 无穷 时， cn -> A
证明 洛必达法则 ，
洛必达法则 其实 就是 看 两个 函数 都 趋于 0 时， 谁 趋近 的 快 ？ 快多少 ？
根据 导数 的 定义，
f ′ ( x ) = [ f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / ⊿ x , ⊿ x -> 0
g ′ ( x ) = [ g ( x + ⊿ x ) - g ( x ) ] / ⊿ x , ⊿ x -> 0
当 f ( x ) = 0 ， g ( x ) = 0 时，
f ′ ( x ) / g ′ ( x )
= [ f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / [ g ( x + ⊿ x ) - g ( x ) ]
= [ f ( x + ⊿ x ) - 0 ] / [ g ( x + ⊿ x ) - 0 ]
= f ( x + ⊿ x ) / g ( x + ⊿ x ) ， ⊿ x -> 0
因为 ⊿ x -> 0 ， 所以 f ( x + ⊿ x ) -> f ( x ) ， g ( x + ⊿ x ) -> g ( x ) ， f ( x + ⊿ x ) / g ( x + ⊿ x ) -> f ( x ) / g ( x )
于是， f ′ ( x ) / g ′ ( x ) = f ( x + ⊿ x ) / g ( x + ⊿ x ) -> f ( x ) / g ( x )
f ′ ( x ) / g ′ ( x ) -> f ( x ) / g ( x )
即 当 f ( x ) = 0 ， g ( x ) = 0 时， f ′ ( x ) / g ′ ( x ) -> f ( x ) / g ( x )
还可以 这样 证 ，
当 x -> x₀ 时， f ( x ) = f ( x₀ ) + f ′ ( x₀ ) ⊿ x ， g ( x ) = g ( x₀ ) + g ′ ( x₀ ) ⊿ x
若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0
f ( x ) / g ( x )
= [ f ( x₀ ) + f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ( x₀ ) + g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= [ 0 + f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ 0 + g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= [ f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
即 当 x -> x₀ 时， 若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 则 f ( x ) / g ( x ) = f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
还可以 这样 证 ，
若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 有
f ( x ) = f ( x ) - 0 = f ( x ) - f ( x₀ )
g ( x ) = g ( x ) - 0 = g ( x ) - g ( x₀ )
f ( x ) / g ( x )
= [ f ( x ) - f ( x₀ ) ] / [ g ( x ) - g ( x₀ ) ]
当 x -> x₀ 时
= [ f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
即 若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 当 x -> x₀ 时， f ( x ) / g ( x ) = f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
还可以 这样 证 ，
设 ʃ f ′ ( x ) dx = f1( x ) + C ， ʃ g ′ ( x ) dx = g1 ( x ) + C
有 f ( x ) = f1 ( x ) + C (1) 式
若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0
将 f ( x₀ ) = 0 代入 (1) 式，
f ( x₀ ) = f1 ( x₀ ) + C
0 = f1 ( x₀ ) + C
C = - f1 ( x₀ )
把 C 代回 (1) 式，
f ( x ) = f1 ( x ) - f1 ( x₀ )
同理， g ( x ) = g1 ( x ) - g1 ( x₀ )
f ( x ) / g ( x )
= [ f1 ( x ) - f1 ( x₀ ) ] / [ g1 ( x ) - g1 ( x₀ ) ]
当 x -> x₀ 时
= [ f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
即 若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 当 x -> x₀ 时， f ( x ) / g ( x ) = f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
以上 是 夹逼定理 和 洛必达法则 。
在 网上 经常看到说 求 sin x / x , x -> 0 的 极限 是 用 夹逼定理， 那 要 怎么 “夹” ？ 用 什么 夹 ？ 我们来试试 。
一天后， 想了一天， 也 没想出来 用 夹逼定理 怎么 求 sin x / x , x -> 0 。 比如 x / x = 1， x / x > sin x / x ， 当 x -> 0 时， x / x -> 1 。 这算是 用来 “夹” sin x / x 的 一边， 还要 找 另一边 g ( x ) ， g ( x ) < sin x / x ， 当 x -> 0 时， g ( x ) -> 1 。
问题 是 这个 g ( x ) 怎么找 ？ 即使 找到了 ， 很可能 g ( x ) 的 表达式 比 sin x / x 还复杂， 求 g ( x ) , x -> 0 可能比 求 sin x / x , x -> 0 更复杂 。
g ( x ) , x -> 0 表示 x -> 0 时， g ( x ) -> ? ， 也就是 x -> 0 时， g ( x ) 的 极限， 也就是 lim g ( x ) , x -> 0 。
求 g ( x ) , x -> 0 也要 处理 圆弧 和 弦 的 关系， 或者说 三角函数 关系 。
sin x / x , x -> 0 已经是 最简单 的 一个 极限 ， 其实 用 洛必达法则 最简单 。
因为 当 x = 0 时， sin x = 0， x = 0
于是， 当 x -> 0 时，
sin x / x
= ( sin x ) ′ / x ′
= cos x / 1
= cos x
= cos 0
= 1
2022-06-01 补充
昨天晚上又看了一下 《聊一聊 ( sin x ) ′ = cos x》 https://tieba.baidu.com/p/7519812454 ， 里面引用了 《我真是无语了，居然有这样的证明，明明是先有x和sinx是等价》 https://tieba.baidu.com/p/7513639815 。
《我真是无语了，居然有这样的证明，明明是先有x和sinx是等价》 里， 楼主 说 先有 sin x / x , x -> 0 这个 极限， 才有 ( sin x ) ′ = cos x ， 才有 洛必达法则 和 泰勒展开 sin x， 因此 用 洛必达法则 和 泰勒展开 求 sin x / x , x -> 0 是 用果去解释因， 是 循环论证 。
当然 这些 当时 就看到， 但 当时 只 注意了 泰勒展开， 昨天晚上看了 才突然想起来， 上文 用 洛必达法则 求 sin x / x , x -> 0 也是 陷入了 循环论证 错误 。
好吧， 再来 证明 一次 。
设 圆 O 的 半径 为 r， 当然， OA = OB = r 。 AH 保持长度不变， 让 r -> 无穷 。 当 r -> 无穷 时， 弧 AB 趋于 直线 且 趋于 和 OB 垂直， 而 AH 也和 OB 垂直， 故 弧 AB 趋于 和 AH 平行， 而 弧 AB 和 AH 有 一个 公共点 A， 则 弧 AB 和 AH 有 公共点 且 趋于 平行， 即 弧 AB 和 AH 趋于 重合 。
既然 弧 AB 和 AH 趋于 重合， 当然 H 点 和 B 点 也 趋于重合， 即 弧 AB 长度 趋于 和 AH 相等 。
当 r -> 无穷 时， 弧 AB 长度 趋于 和 AH 相等 也就是 sin x / x , x -> 0 = 1 。
AB 夹在 AH 和 弧 AB 中间， 可知 AB 长度 也 趋于 和 AH 、弧 AB 相等， 即 AB -> AH -> 弧 AB 。
还可以知道， 当 r -> 无穷 时， H 点 和 B 点 趋于重合， HB 长度 趋于 0， 即
当 r -> 无穷 时， AH -> AB -> 弧 AB ， HB -> 0
等价于
r 为 有 确定大小 的 值， 当 弧 AB -> 0 时， AH -> AB -> 弧 AB ， 三者 是 等价无穷小， HB 是 高阶无穷小 。
证明完毕 。
这个 证明 会不会 有点土， 贻笑大方 ？ 或者， 仍然 是 一个 循环论证 ？ （滑稽）
这里 涉及 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) , n -> 无穷 这个 极限 。 求 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) , n -> 无穷 的 方法 我 在 《推导一个 经典物理 里 的 加速极限》 里 写了 。
知道了 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) , n -> 无穷 ， 就知道了 r -> 无穷 时， AH 、AB 、HB 之间的关系 。
知道了 AH 、AB 、HB 之间的关系， 现在， 可以用 夹逼定理， 看， Δ ABH 和 Δ ABH ′ 全等， 弧 AB 夹在 AB 和 BH ′ 之间 。
其实
“
当 r -> 无穷 时， AH -> AB -> 弧 AB ， HB -> 0
等价于
r 为 有 确定大小 的 值， 当 弧 AB -> 0 时， AH -> AB -> 弧 AB ， 三者 是 等价无穷小， HB 是 高阶无穷小 。
”
这个说法 并不严谨， 存在错误 ， 比如 n 为 常量， R -> 无穷， n / R -> 0 ， 即 n 为 常量， n / R 为 无穷小， 但 这不意味着 R 为 常量， n -> 0 时， n / R 是 高阶无穷小， 实际上， 此时， n 和 n / R 是 同阶无穷小 。
