推导一个 经典物理 里 的 加速极限

我前几天 在 我 在 反相吧  发 的 帖 《极坐标系 下的 牛顿第二定律》    https://tieba.baidu.com/p/6381430244     里 和   @joywee2007  讨论 的 时候，  想到一个 问题，  见 5 楼 

 

“

joywee 在 4 楼 回复 “但是，反过来我们可以设想：如果不考虑真空磁导率对光速的影响，无穷大的加速度为毛不能产生无穷大的速度呢？？”

这里， “真空磁导率对光速的影响” 的 意思 我还不是 太明白， 但 这 让我 想起了 一个 想法， 过两天 发帖 说明 。

”

 

这个问题 是  在 经典物理 里，   在 回旋加速器 里，     每一次 加速 ， 粒子 的 速度 变快，   粒子速度 变快 则 下次 的 加速 的 时间 会 变短，   假设 粒子 在 距离 电极 L 处，  开始加速， 通过 电极 时 停止加速，    粒子速度 越快，   通过 L 的 时间 越短，  也就是 加速时间 越短，   也就是 每一次 增加 的 速度 越小  。

 

那么，  这里 就有一个 极限问题，   随着 加速 次数 的 增加，   粒子速度 越来越快，  而 粒子速度 越快，  则 每次 加速 的 时间 越短，  增加 的 速度 越小，   设 加速 次数 无限，  粒子速度 会否 无限 增大，  还是 有一个 上限  ？

 

我在 两年前  在 反相吧 和 @东方已晓 老师 讨论 的 时候 也 想到 和 提出过 这个 问题  。     当时 讨论 的 内容 涉及 东方已晓 老师 研究 的 如果 力 的 传递速度  是 光速，  当 粒子速度 接近光速时， 会否 对 粒子加速 和 测量粒子速度 产生影响，  而  “速度越大， 就越难加速”  的 现象 会否 就是 由此 产生 的  。   见   @炽成哥哥 《向反相的大佬们请教》  https://tieba.baidu.com/p/6236432137   的  62 楼  。

 

我在 当时 和 东方已晓 老师  讨论 的 过程 中 提出，  粒子 的 速度 越快，  则 从 靠近 到 通过 电极 的 时间 越短， 也就是 加速时间 越短，  这 会不会 也是  “速度越大， 就越难加速”   的 原因 ？

 

 

接下来 我们 研究一下 这个 问题  。

 

           

 

 

 

 

如图，   粒子 在 距离 电极 L 处 时， 电极 通电，  粒子 开始 加速，   粒子 到达 电极 时，   电极 断电，   本次 加速结束 ，   粒子 通过 电极  。

 

L 为 粒子 到 电极 的 垂直距离，   设 粒子加速过程中 运动轨迹 为 直线，  一直 垂直于 电极，  这段 运动轨迹 也 称为 L  。

 

设 第一次 加速 时 ，  粒子 初始速度  v0 = 0 ，   经过 L 的 时间 为  t1，  加速后，   粒子速度  为  v1 ，   从 开始加速（从 L 起点 开始） 运动 的 距离 为 s ， 电极 对 粒子 的 电场力 为 恒力  F  。

 

F 为 恒力，  是一个 简化，  也是 理想状态  。   按 常识 想当然，   电场 应该 会 随 距离 的 增加 而 减弱，  就像 库仑力，   但 这里 是 电场力， 不是 库仑力，  同学们，  要 把 这里 的 问题 搞清楚，  还要 知道 电场 、电势 、电场强度 、电压 、电场力 、库仑力 、介电常数  ……  是 什么，  不然，  让 你们 设计 加速器 也 设计不出来的 哦 ！

 

当 粒子 靠近 电极 时，  和 电极 的 距离 变短，   电场强度 变大，  电场力 变大，  但是 由于 电极 位于 前方两侧，  故 两个 电极 的 电场力 一部分 作为 L 的 法向分量 抵消了，  只有另一部分 作为 L 方向 的 分量 对 粒子 加速  。  所以 当 粒子 靠近电极 时，  受到的 电场力 并不会 因为 距离 缩短 而 急剧增大，  故  F 设为 恒力，   大概 也 讲得通 吧 ！

 

要 认真一点 的 话，  如果 粒子 是 电子，  要用 正电场 对 其 加速，  前方 的 电极 应该是  高电势，   也就是 接 火线，  但 如果 粒子 是 质子，  要用 负电场 对 其 加速，  这就有点 尴尬 了，  “负电场”    是 什么 ？     好吧，  我们 把 负电场 定义为 电场方向 和  刚才 的 正电场 的 方向 相反 的 电场  。 

 

这 个 负电场 嘛，  好吧， 通俗一点，   要 对 质子 加速，   前方 的 电极 应该 是 低电势，    但 这也 同样 尴尬，   “低电势” 又是什么 ？   接零线 ？  接地线 ？    你 去 接接 看 试试吧 ！ 哈哈  。

 

这个 低电势，   低多少 ？     要 怎么 低  ？       比 我们 日常 的 生活环境，  比如 大地，     低 1000 伏   怎么样  ？       大地 的 电势 为 0 的 话，   弄个 发电机 或 电池，   发  -1000 伏 出来，  怎么样 ？

 

好吧，   这个 负电势 发电机 留给 大家 研究 吧，   就像 永动机，  很好玩的  。

 

暂时，  我是 搞不出来，    所以，   我们这里 电极 还是 接火线，    只不过 把  电极 放到  L 的 起点，  就是 放到 开始加速 的 地方，  这样，  对 质子 产生 “推力”，   推着 质子 加速  。

也就是说，    对于 电子，   电极 放在  L 的 终点，  对 电子 产生 拉力，     对于 质子，   电极 放在 L 的 起点，  对 质子 产生 推力  。

 

等，    负电势 好像 可以 弄出来，   只要  关心 电动势 的 方向 和 零线接地 就行  。     现在 的 交流发电站 就是 这样  。

 

其实  电学 和 力学 一样，  也有 惯性系 的，   电势 的 参照系，   满足 法拉第电磁感应定律 的 电势参照系 就是 电势 的 惯性系  。    当然，  这个说法，  是否恰当， 还要 进一步 研究，  先提出来 。

 

零线 、零线带电 、地球 是 个 大电容 、地球 是 个 大电阻 、变压器 电压电流 能量守恒 、变压器线圈 自身 的 感抗 、变压器 输出线圈 对 输入线圈 的 感抗   ……   以后再说  。

 

 

设  粒子质量 为 m ，   加速过程中，  加速度 为 a ，  速度 为 v， 路程 为 s，  时间 为  t，   每次 开始加速 时   t = 0 ，    初始速度 为  V₀ ，

 

a  =   F / m  ，      因为 F 是 恒力，  m 是 常量，  所以  a 也是 常量  。

 

v = a t + V₀

s  =  ʃ  v  dt

=  ʃ  ( a t  +  V₀ ) dt

=  1/2 * a t ²  +  V₀ t  +  C

 

s = 1/2 * a t ²  +  V₀ t  +  C        (1) 式

 

当  t = 0 时，  s = 0 ，     代入  (1) 式

 

0  =  1/2 * a * 0 ² +  V₀ * 0  + C

0  =  0  +  0  +  C

C  =  0

 

将 C 代回  (1) 式 ，

 

s  =  1/2 * a t ²  +  V₀ t  

 

以  t  为 未知数，  这是一个 一元二次方程 ，

 

1/2 * a t ²  +  V₀ t  -  s  =  0

 

它 的 根 是 ，

t  =   [  - V₀  +  根号 ( V₀ ² + 2 a s )  ]  / a

t  =   [  - V₀  -  根号 ( V₀ ² + 2 a s )  ]  / a

 

t  =   [  - V₀  -  根号 ( V₀ ² + 2 a s )  ]  / a    是 负根，    取 正根   t  =   [  - V₀  +  根号 ( V₀ ² -+ 2 a s )  ]  / a   。

 

 

设 粒子经过  L 的 时间，  也就是 加速时间 为  T ，

 

T  =  [  - V₀  +  根号 ( V₀ ² + 2 a L )  ]  / a 

 

上文说了，     第一次 加速 时 ，  粒子 初始速度  v0 = 0  ，    设  第 1 次 加速 的 时间 为  t1，  加速后 的 速度 为 v1，  第 2 次  加速 的 时间 为  t2，  加速后 的 速度 为 v2  ……   第 n 次 加速 的 时间 为  tn，  加速后 的 速度 为 vn  。 

 

t1  =   [  - 0  +  根号 ( 0 ² + 2 a L )  ]  / a 

v1 = a * t1  +  v0   

=  a  *   [  - 0  +  根号 ( 0 ² + 2 a L )  ]  / a   +   0   

=   根号 ( 2 a L ) 

 

t2  =   [  - v1  +  根号 ( v1 ² + 2 a L )  ]  / a 

v2  =  a * t2  +  v1

=  a  *   [  - v1  +  根号 ( v1 ² + 2 a L )  ]  / a   +   v1

=    [  - v1  +  根号 ( v1 ² + 2 a L )  ]   +   v1

=   根号 ( v1 ² + 2 a L ) 

=   根号 ( [ 根号 ( 2 a L ) ] ² + 2 a L ) 

=   根号 ( 2 a L + 2 a L ) 

=   根号 ( 4 a L )

 

t3  =  [  - v2  +  根号 ( v2 ² + 2 a L )  ]  / a 

v3  =  a * t3  +  v2

=  a  *   [  - v2  +  根号 ( v2 ² + 2 a L )  ]  / a   +   v2

=    [  - v2  +  根号 ( v2 ² + 2 a L )  ]   +   v2

=   根号 ( v2 ² + 2 a L ) 

=   根号 ( [ 根号 ( 4 a L ) ] ² + 2 a L ) 

=   根号 ( 4 a L + 2 a L ) 

=   根号 ( 6 a L )

 

……    依此类推 ，  可知

 

tn  =   {  根号  ( 2 n a L )   -   根号  [ 2 ( n - 1 ) a L ]  }   /  a

vn  =   根号  ( 2 n a L )

 

v1,  v2,  v3  ……  vn     是一个 数列，  看得出来，   这个 数列 是 发散 的，  没有极限  。  当   n -> 无穷 时，   vn -> 无穷  。

 

也就是说，    vn 可以无限增大，    粒子 可以一直 加速，  速度 没有 上限  。

 

vn 还是 个  标准 的  1/2 次方 函数 呢  。

 

 

其实可以这样看，   把 每一次 的 加速过程 连起来，   也就是 把  每次 的  L  连起来，   实际上  n 次 加速 就是 在 长度 为  n * L  的 路程 上  加速度 为 a 的 匀加速  。

 

也就是说，  n 次 加速 实际上 等价于 一个  普通 的 匀加速运动 ，   或者说，  n 次 加速 实际上 就是 一个  普通 的 匀加速运动  。

 

 

还可以 这样 看 ，    粒子 在 回旋加速器 里  环绕一圈  就 加速一次，   经过 L 时 加速，   设  粒子 飞行 的 环形轨迹 长度 为 10 L，  加速 发生在 L 里，  则 每一圈 飞行 不加速 的 路程 是  9 L  。

 

每一次 加速 的 加速时间 是    t1, t2, t3 …… tn  ，      可以 大略 的 认为 每一圈 飞行 的 时间 为   10 t1,  10 t2,  10 t3  ……  10 tn  ，    其中 不加速 的 时间 是    9 t1, 9 t2, 9 t3 …… 9 tn 。

 

当 经过 n 次 加速 时，   粒子 飞行了 n 圈，   经过 的 时间   T_n圈  =  10 t1 + 10 t2 + 10 t3 + …… + 10 tn  ，

 

T_n圈  =  10 t1 + 10 t2 + 10 t3 + …… + 10 tn

=   10   *    ( t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn )

 

经过 n 次 加速 时，    加速时间 总和  T_n加速  =  t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn  ，

 

T_n圈   =   10   *    ( t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn )

T_n圈   =   10   *   T_n加速

T_n加速   =   1/10   *   T_n圈

 

经过了 无限长 的 时间，  此时，   T_n圈 -> 无穷 ，   粒子 飞行了 无数圈，   n -> 无穷 ，

 

T_n加速   =   1/10   *   T_n圈

=    1/10  *  无穷

=    无穷

 

T_n加速  -> 无穷

 

T_n加速  -> 无穷    表示   加速时间 也是 无限长，   对于 加速度 为 常量 a  的  匀加速运动 ，    加速时间  无限长 也就是 速度 加速 到 无限大 。

 

 

上面说  “经过了 无限长 的 时间，  此时，   T_n圈 -> 无穷 ，   粒子 飞行了 无数圈，   n -> 无穷 ，”  ，  能不能 反过来 说  “当  n -> 无穷 时，  经过了 无限长 的 时间 ” ？    这个 说不准，  可以 简单证明一下，    设  当 n -> 无穷，  vn -> 无穷，   可知  tn = { vn - v [ n - 1 ] } / an，    an 是 第 n 次 的 加速度，   这里 an 可以随 n 变化， 那么，  如果  tn 是 一个 收敛 的 等比数列，   则 它 的 数列和   T_n加速  =  t1 + t2 + t3 + …… + tn  也是 收敛 的，  是 一个 有限大小 的 值，   也就是 在 一段 有限的 时间   T_n加速  里，   就可以 飞行 无数圈，   n -> 无穷 。  也就是  在 一段 有限的 时间   T_n加速  里，    粒子 速度 可以 加速 到 无穷大  。   大家看看，   这种情况 在  an 不趋于 无穷大 的 情况 下 可能 存在 吗  ？

 

从这里，  我发现了 一个 定理 ：       等比数列 的 相邻 的 项 的 差 构成 的 数列 也是 一个 等比数列，   公比 和 原数列 相等 。

比如，   vn 是一个 等比数列，  公比 为 q，   设  wn = vn - v [ n - 1 ]，   那么，   wn 也是 等比数列，  公比 也是 q  。

 

如果 每一圈 飞行 的 速度   v1, v2, v3 …… vn  是 一个 发散 的 数列， vn / v [ n - 1 ] > 1，  那么，  就可能 在  一段 有限 的 时间 里，  飞行 无数圈，   n -> 无穷，  vn -> 无穷  。  也就是  在 一段 有限的 时间   T_n加速  里，    粒子 速度 可以 加速 到 无穷大  。    这 是否要求   a1, a2, a3 …… an  也是一个 发散的 数列， an / a [ n - 1 ] > 1，  是否要求 an 总是 发散 的 比 vn 更快， 或 要求 当 n -> 无穷 时， an 发散 的 比 vn 更快  ？      这些 情况 可不可能 存在 ？    an 发散 的 比 vn 更快 指  an / a [ n - 1 ]  >  vn / v [ n - 1 ]   。     这题 留给大家 。

 

如果  a1 < a2 < a3 < …… < a [ n - 1 ] < an ，  且  a1 -> a2 -> a3 -> …… -> a [ n - 1 ] -> an  ，

也就是   a1 + d = a2,   a2 + d = a3 ,  ……  ,   a [ n - 1 ] + d = an ，  d > 0 ,  d ->0 ，

也就是   a2 比 a1 大一个 无穷小，  a3 比 a2 大一个 无穷小   ……   an 比 a [ n - 1 ] 大一个 无穷小 ，

那么，   这 会不会 导致   an - a1  是一个 有确定大小的值  ？    或   an / a1 > 1 ？     由 这些 导致  T_n加速  是一个 有限大小的 值 ？

或，   会不会 导致，   设 m < n，  m -> 无穷，  则  an - am  是一个 有确定大小的值  ？    或   an / am > 1 ？     由 这些 导致  T_n加速  是一个 有限大小的 值 ？

 

有些 数学问题 是 没有办法 在 实际中 模拟验证 的，    只能 在 理论上 证明 和 认识，  比如 无穷问题  。   无穷问题 比如 上面的问题，    还有 调和级数 是 收敛 还是 发散 问题  。

 

 

刚刚 的 推导 里，  每一次 加速 之间 的 时间间隔 是 9 tn ，   可以 让 每一次 加速 之间 的 时间间隔  为一个 常量  T_间隔 ，

 

每一圈 飞行 的 时间 为   t1 + T_间隔 ,   t2 + T_间隔 ,   t3 + T_间隔  ……  t4 + T_间隔  ，

 

T_n圈   =    t1 + T_间隔  +   t2 + T_间隔   +   t3 + T_间隔   +  ……  +   t4 + T_间隔

=    ( t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn )    +    n  *  T_间隔 

=    T_n加速   +   n  *  T_间隔 

 

T_n圈    =    T_n加速   +   n  *  T_间隔 

T_n加速   =    T_n圈   -   n  *  T_间隔 

 

当  n -> 无穷 时，     T_n圈 -> 无穷，     n  *  T_间隔 -> 无穷   ，

 

T_n加速    =    T_n圈   -   n  *  T_间隔     

=    无穷  -  无穷               (2) 式

 

这个  无穷  -  无穷  是 一个 有限 的 值 还是 也是 无穷，    这个 是 说不定 的  。

 

当  n -> 无穷 时，     tn -> 0，   而  T_间隔 是 一个 常量，    那么，  谁 能 保证   T_n加速  =  t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn   不是 一个 有限大小 的 值 呢 ？

 

最后 这句 反问句 有点 绕， 可能 会 理解 反了 ，  它 的 意思 是 ，  谁 能 保证  T_n加速  =  t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn  是 会 无限 增大  的  ？

 

谁 能 保证  T_n加速  =  t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn    是  发散 的  ？

 

说到这里，    我想起了     1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n ,   n -> 无穷   是 收敛 还是 发散 的 问题 ，     这是 调和级数 ？  还是 中华级数 ？    嗯，  下次 研究 这个 。

 

 

上文内容  写于  2021-09-01 和 之后 的 一段时间，    今天 是  2022-04-23，  接着写  。   也对 上文内容 做了一些 修改补充  。

 

tn  =   {  根号  ( 2 n a L )   -   根号  [ 2 ( n - 1 ) a L ]  }   /  a

 

当   n -> 无穷 时，      tn -> ？      是否  tn -> 0  ？      若  tn -> 0，    是否  t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn   ->    一个有限大小的值  ？

 

看起来，   当  n -> 无穷 时，    tn -> 0 ，      但 还是要 计算一下 。

 

tn  =   {  根号  ( 2 n a L )   -   根号  [ 2 ( n - 1 ) a L ]  }   /  a

=   根号 ( 2 a L ) / a   *   [ 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) ]

=   根号  ( 2 L / a )   *   [ 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) ]

 

根号  ( 2 L / a )     是 常量，     看   根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )  。

 

当  n -> 无穷 ，

根号 ( n )  / 根号 ( n - 1 )  

=  根号  [ n / ( n - 1 )]

=  根号  [ 1 / ( 1 - 1/n ) ]

->  根号  [ 1 / ( 1 - 0 ) ]

=   根号  ( 1 / 1)

=   根号  ( 1 )

=   1

 

即   当  n -> 无穷 ，     根号 ( n )  / 根号 ( n - 1 )   ->   1

即   当  n -> 无穷 ，     根号 ( n )   ->   根号 ( n - 1 )  

于是，   当  n -> 无穷 ，      根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )   ->    根号 ( n ) - 根号 ( n )   =   0

即   当  n -> 无穷 ，      根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )   ->   0

 

其实 这样算 也是 有 问题 的 ，      因为 比如 存在 这样 的 情况 ：    n 和 n - 2  ，

 

当   n -> 无穷 ，  

n - ( n - 2 ) = n - n + 2 = 2

 

而 按照 上面 的 算法，

当   n -> 无穷 ，

n / ( n - 2 )

=   1 / ( 1 - 2/n )

->  1 / ( 1 - 0 )

=   1 / 1

=   1

 

即   当   n -> 无穷 ，     n / ( n - 2 )  ->  1

即   当   n -> 无穷 ，     n  ->  n - 2 

于是，   当  n -> 无穷 ，      n  -  ( n - 2 )   ->   n  -  n    =   0

即   当  n -> 无穷 ，       n  -  ( n - 2 )   ->   0

 

这就不对了  。

 

那要怎么计算     根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )  ,   n ->  无穷  ？

可以这样，

设  根号 ( n - 1 ) = 根号 ( n ) - d  ,    d > 0  ，   则

n - 1 = [ 根号 ( n ) - d ] ²

n - 1 = n - 2 根号 ( n ) d  + d ²

- 1 = - 2 根号 ( n ) d  + d ²

当  n -> 无穷 时，  要 让 等式 成立，   d 应是 无穷小，  和 根号 ( n ) 同阶，

也可以得出，      d  =  1 / [ 2 根号 ( n ) ]   ->   0           (3) 式

 

于是，    当  n -> 无穷 ，   

根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )  

=  根号 ( n )  -  ( 根号 ( n ) - d  )

=  根号 ( n )  -  根号 ( n )  +  d  

=   d  ->  0

 

即   当  n -> 无穷 ，   根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )   ->   0

 

于是，    当  n -> 无穷 ，

tn   =   根号  ( 2 L / a )   *   [ 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) ]

->   根号  ( 2 L / a )   *   0

=    0

 

即    当   n -> 无穷，    tn  ->  0

 

既然   当   n -> 无穷，    tn  ->  0  ，     会不会  当  n -> 无穷，    t1 +  t2 +  t3 + …… +  tn   ->   T ，   T 是 一个有限大小的值  ？

如果是这样，    意味着  粒子 可以在 一段 有限的时间 T 内  加速到 速度 无穷大 ，  以及 经过 无穷远 的 路程  。

但 这 显然 与 匀加速运动 公式  v = a t    不符，       从  v = a t   可以看出，   当  t 无穷大 时，  v 无穷大  。

 

一个数列 { an }，    如果   a [ n - 1 ]  >  an，    当 n -> 无穷，  an -> 0，     则 这个 数列 的 和  Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an  可能收敛，  也可能发散 。   参考 等比数列 可知，   若  an / a [ n - 1 ]  < 1，  则  Sn 收敛，   如果  an / a [ n - 1 ]  ->  1，   则 Sn 可能发散，   调和级数 就是 这种情况  。   通常说 调和级数 是 发散 的，   这个 情况 怎么样，   我现在还不清楚，  以后看看  。

 

刚才说了，    根据 匀加速运动 公式  v = a t ，   当  t 无穷大 时，  v 无穷大 ；    当  v 无穷大，   t 无穷大，   所以，  当 n -> 无穷，    t1 + tn + t3 + …… + tn   应该是 发散 的  。   因为 是 发散 的，        tn / t [ n - 1 ]    应该 是     tn / t [ n - 1 ]  -> 1  。

 

那    tn / t [ n - 1 ]    是不是     tn / t [ n - 1 ]  -> 1   ？     计算一下  。

 

上文已经 得出      根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )  ,   n ->  无穷    =   d  =  1 / [ 2 根号 ( n ) ]  ，    见  (3) 式  。

同理可得       根号 ( n - 1 ) - 根号 ( n - 2 )  ,   n ->  无穷   =  1 / [ 2 根号 ( n - 1 ) ]  

 

于是，

 

tn / t [ n - 1 ]   ,    n -> 无穷

=    根号  ( 2 L / a )   *   [ 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) ]   /  {  根号  ( 2 L / a )   *   [ 根号 ( n - 1 ) - 根号 ( n - 2 ) ]  }

=    [ 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) ]   /   [ 根号 ( n - 1 ) - 根号 ( n - 2 ) ] 

=    1 / [ 2 根号 ( n ) ]   /   {  1 / [ 2 根号 ( n - 1 ) ]  }

=    根号 ( n - 1 )  /  根号 ( n )

=    1

 

即   当  n -> 无穷，    tn / t [ n - 1 ]  ->  1   。

 

调和级数  当 n -> 无穷， an / a [ n - 1 ]  ->  1 ，    这里  tn 也是 当 n -> 无穷，    tn / t [ n - 1 ]  ->  1 ，      在 这一点 上，   tn 和 调和级数 一样 ，   但是，   应该注意的是，   两者 的 项 的 构造 并不一样，    

 

tn   =   根号  ( 2 L / a )   *   [ 根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 ) ]  ，     这里 看  根号 ( n ) - 根号 ( n - 1 )  ，     这是一个 减式  。

而 调和级数 的 项 是    1 / n    。

 

 

还有一个 问题，    回到 (2) 式，    可知  (2) 式 中  T_n圈  是  T_n加速   的 高阶无穷大，  也就是  T_n加速  是 无穷，   而  T_n圈  是  无穷 个 T_n加速，   也就是 无穷 个 无穷  。  原本 只要 经过 T_n加速，  vn 就可以达到 无穷大，   现在  T_n加速  被 “分散稀释” 在  T_n圈  中，  这会不会 导致 经过了  “无限长的时间”，  也只是 经过了 一个  T_n加速，     离 T_n圈 还差 无穷 - 1 = 无穷 个 T_n加速，   因而 vn 永远 不能达到 无穷大 ？     如果是这样， 这意味着  vn 存在一个 极限，   也就是 vn 趋于一个 有限大小的值，  那么，  vn 的  极限 是 多少 ？

 

或者，  当 加速时间 累积 达到  T_n加速  时，   vn  达到 无穷大，    但 因为 有   T_间隔 ，   当 加速时间 累积 达到  T_n加速  时，   已经经过了   n * T_间隔  （也可以说  ( n - 1 ) * T_间隔） 。   可知   n * T_间隔 是  T_n加速 的 高阶无穷大，   也就是，  在 加速时间 累积 达到  T_n加速  时，  在此之前，  已经经过了 无穷个 T_n加速  。  T_n加速 是 无穷，  在 加速时间 累积 达到  T_n加速 之前，   先要 经过 无穷个 T_n加速，  也就是 无穷 个 无穷，   这会不会 导致 即使经过了 无限长 的 时间，  加速时间 累积 也 永远 达不到  T_n加速 ，   vn 也就 永远  也 达不到 无穷大 ？     如果是这样， 这意味着  vn 存在一个 极限，   也就是 vn 趋于一个 有限大小的值，  那么，  vn 的  极限 是 多少 ？         这也是 “分散稀释”  。

 

 

一般 的 说法，     1901 年 德国 物理学家 考夫曼 利用 镭 的 放射性 衰变 中  β-射线 的 高能电子 作 实验，  发现 随速度增加，  电子 越来越难以加速  。

 

一个 电极 对 电子 的 加速 是 有限的，   当 电子 到达 和 穿过 电极 后，  要 继续 对 电子加速，  就需要 由 下一个 电极 对 电子 加速，   推而广之，  要 持续 加速 电子，  需要 多个 电极 对 电子 接力加速，   考夫曼 先生 当时 是否 采用了 这样 的 方式，  不知道  。

 

更进一步，    就是 回旋加速器，     考夫曼 是否 使用了 回旋加速 的 装置，     也不知道  。

 

电子速度 越快，    在 一定距离 内，  就 越快 到达 电极，  也就是 加速时间 越短，  增加 的 速度 越小，   也就是 “越难加速”   。    考夫曼 实验 发现 的  “ 随速度增加，  电子 越来越难以加速”   是不是 这种情况  ？      

 

这些 需要 考证 和 确认  。             @水星之魅

 

 

刚好 今天（2022-05-16）  凌晨 看到 数学吧 《一个很有趣的问题（改）》 https://tieba.baidu.com/p/7834888981 ，   见 《数学吧 《一个很有趣的问题（改）》》     https://tieba.baidu.com/p/7836884665    。