牛客多校2021（五） B. Boxes（概率）

• 题目： Boxes

• 题意：给出n个盒子，每个盒子中出现黑球/白球的概率均为\(\frac{1}{2}\)​ ，开第\(i\)个盒子需要花费\(w_i\)，并且可以使用提示（可以知道剩下的盒子中还有多少个黑球），使用一次提示的花费为\(C\)，问知道每个盒子中球的颜色需要花费的最小期望。

• 解析：能知道每个盒子中所有球的验证有两种验证方式：

  • 不使用一次提示机会，打开所有的盒子，花费 = \(\sum_{i=1}^{n}w_i\)
  • 其实使用一次和两次甚至n次提示都是一样的，因为你使用一次提示后就可以知道剩下黑球和白球的数量，那每开一个盒子只是白球/黑球数量 - 1罢了，那么我们希望花费期望最小，肯定是从花费小的盒子开起，并且当开到第\(i\)​个盒子时，如果第\(i + 1\)​~\(n\)​的的盒子颜色都一样，说明可以知道每个盒子装的球的颜色。当开到第\(i\)​个箱子时候，剩下箱子均为同色的概率为：\(\frac{1}{2}^{n-i+1} \times 2 \times \frac{1}{2}\)​ ​，\(\times 2\)是因为同色可能是黑色或者白色，\(\times \frac{1}{2}\)是因为第i个球的概率必须和剩下\(n - i\)个球概率不一样。

• 代码：

  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  #include<algorithm>
  #include<cmath>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int N = 1e5 + 5;
  
  int n;
  double c;
  double w[N], sum[N];
  
  int main()
  {
      cin >> n >> c;
      for(int i = 1; i <= n; i++)
          cin >> w[i];
      sort(w + 1, w + 1 + n); //等概率开花费小的箱子优先
      double res = c;
      for(int i = 1; i <= n - 1; i++)
      {
          sum[i] = sum[i - 1] + w[i];
          res += sum[i] * pow(0.5, (double)n - i);
      }
      sum[n] = sum[n - 1] + w[n]; //不使用提示的花费
      res = min(res, sum[n]);
      cout << sum[n] << endl;
      printf("%.6lf\n", res);
      return 0;
  }