牛客多校2021（八）D. OR（位运算）

• 题目：OR

• 题意：给出一个长度为(n - 1)的序列\(b_i\)和\(c_i\)，问存在多少个a序列，满足所有(\(1 \leq i\leq n\))

  \[\begin{align*} a_{i-1}|a_i = b_i, \ a_{i-1}+a_i = c_i \end{align*} \]

• 解析：有如下性质并可以进行推导：

  \[\begin{align*} & a_{i-1}+a_i = a_{i-1}|a_i + a_{i-1}\&a_i \\ & \because b_i = a_{i-1} | a_i\\ & \therefore 令d_i = c_i - b_i = a_{i-1}\&a_i \\ & 即：a序列(1 \leq i \leq n)满足：a_{i-1}|a_i = b_i, \ a_{i-1}\&a_i = d_i 即可\\ \end{align*} \]

  并且我们可以发现，只要\(a_1\)确定之后，之后的\(a_i\)一定是确定的（\(a_i\)由\(b_i\)和\(c_i\)​决定），那么我们可以通过枚举int范围内的\(a_1\)也就是枚举其每一位是否可以为0或者为1，每一位至多有两种方案，最后用乘法原理将所有方案数相乘即可，下面是枚举到第\(k\)位时的情况：

  \(b_i\)​​	\(d_i\)​​	\(a_i\)	\(a_{i-1}\)
  0	0	0	0
  1	1	1	1
  1	0	1	0
  		0	1
  0	1	null	null

  举个例子：当\(b_i\) = 0, \(d_i\) = 0时候，若要满足上诉条件必须使得\(a_i\) = 0, \(a_{i-1}\) = 0才能满足，否则若\(a_{i-1}\)​ = 1， 那么这种方案则不存在。​

• 代码：

  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int N = 1e5 + 5;
  
  int n;
  int b[N], c[N], d[N];
  ll res = 1;
  
  ll solve(int pos, int k, int pre) //第pos个数、第pos个数的第k位、a[pos - 1]的第k位
  {
      if(pos > n) return 1;
      int x = b[pos] >> k & 1, y = d[pos] >> k & 1; //取出第pos个数的第k位
      int now = -1; //第k + 1位取的值(1或0)
      for(int i = 0; i <= 1; i++) //判断ai = 0/1是否满足条件（只可能是其中之一满足，因为a(i-1)已经确定）
      {
          if(x == (pre | i) && y == (pre & i) ) now = i;
      }
      if(now == -1) return 0; //找不到满足条件的ai
      else return solve(pos + 1, k, now);
  }
  
  int main()
  {
      cin >> n;
      for(int i = 2; i <= n; i++) cin >> b[i];
      for(int i = 2; i <= n; i++)
      {
          cin >> c[i];
          d[i] = c[i] - b[i];
      }
      for(int i = 0; i <= 31; i++)
      {
          res *= solve(2, i, 0) + solve(2, i, 1);
      }
      cout << res << endl;
      return 0;
  }