ICPC2021南京区域赛 F.Fireworks（三分、概率期望）

• 题目Fireworks
• 题意：每做一个烟花需要消耗n分钟，每一次燃放之前做好的烟花需要m分钟，每一个烟花燃放成功的概率为p，问在最优策略下，直到成功燃放第一个烟花时最小的期望时间花费.
• 解析：因为每一次燃放之前做好的烟花后，将回到最初状态，所以肯定存在一个k值为每次制作k个烟花后燃放一次，这时可达到花费的时间期望最小; 设事件P为为每次制作k个烟花后燃放一次的过程中至少有一个烟花能够燃放成功，该事件P的概率为(1 - (1 - p)^k)，假设该事件将发生1、2、3...n次，那么直到某一次有一个烟花燃放成功则停止，该事件的的概率分布相当于几何概型，所以期望为1 / (1 - (1 - p)^k)，但每一次所花费的时间为k*n + m所以最后的期望为：（k * n + m）/ (1 / (1 - (1 - p)^k))，那么可猜测该函数为一个凹函数，利用三分找到该函数的极小值即可.
• 代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t;
double n, m, p;
double qpow(double a, ll k)
{
    double res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res *= a;
        a *= a;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
double calc(ll k)
{
    return ((double)k * n + m) / (1 - qpow(1 - p, k));
}
int main()
{
    cin >> t;
    while(t --)
    {
        cin >> n >> m >> p;
        p /= 10000;
        ll l = 1, r = 1e9;
        while(l < r)
        {
            ll mid1 = l + (r - l) / 3;
            ll mid2 = r - (r - l) / 3;
            if(calc(mid1) < calc(mid2)) r = mid2 - 1;
            else l = mid1 + 1;
        }
        printf("%.10lf\n", calc(l));
    }
    return 0;
}