组合数学

高斯消元

在n^3求解方程组

组合数

你有 n 个球和 k 个箱子.
你想将这些球放入箱子中.求满足以下情况的方式数将球放入箱子:

1

每个球都不同.
每个箱子都不同.
每个球只能放入一个箱子且必须放入箱子.
每个箱子可以装有任意数量的球(包括0).

放置方法有k^n种。

2

每个球都不同.
每个箱子都不同.
每个球只能放入一个箱子且必须放入箱子.
每个箱子至多只能装1个球.

由题知盒子数需大于等于球数
放置方法有Ak_n种：第一个球有k种选择，第二个球有k-1种选择...

3

每个球都不同.
每个箱子都不同.
每个球只能放入一个箱子且必须放入箱子.
每个箱子至少装有一个球.

斯特林数

第一类斯特林数

圆排列

圆排列定义：圆排列是排列的一种，指从 [n] 个不同元素中取出 [m]（[1<=m<=n]）个不同的元素排列成一个环形，既无头也无尾。两个圆排列相同当且仅当所取元素的个数相同并且元素取法一致，在环上的排列顺序一致。

s_u(0,0)=1

将 0 个数放到0个圆排列中，方案数为 0（经典人为规定）

s_u(n,0)=0

将n个数放入0个圆排列方案为0

s_u(n,n)=1;

将n个数放入n个圆排列种，方案数为1

s_u(n,1)=(n-1)!

将n个数放入1个圆排列中，方案数（n-1）！

s_u(n,n-1)=C²_n

将n个数放到n-1个圆排列中的方案数，从n个里面挑出两个，其余一个数构成一个圆排列

第二类斯特林数

和第一类斯特林数不同的是，这里的集合内部是不考虑次序的，而圆排列圆的内部是有序的。常常用于解决组合数学中的几类放球模型。描述为：将 n个不同的球放入 m 个无差别的盒子中，要求盒子非空，有几种方案？

有空接着补。。