HZOI20190722 B visit 组合数+CRT合并

题目：https://www.cnblogs.com/Juve/articles/11226266.html

solution：

30%：dp

设dp[k][i][j]表示经过k时间，在(i,j)的方案数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define MAXN 105
using namespace std;
ll dp[MAXN][MAXN<<1][MAXN<<1],t,n,m,mod;
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&t,&mod,&n,&m);
    if(n<0) n=-n;
    if(m<0) m=-m;
    if((t-n-m)&1){
        cout<<0<<endl;
        return 0;
    }
    int xkl=105;
    dp[0][xkl][xkl]=1;
    for(ll i=1;i<=t;i++){
        for(ll j=-t;j<=t;j++){
            for(ll k=-t;k<=t;k++){
                dp[i][j+xkl][k+xkl]=(dp[i][j+xkl][k+xkl]+dp[i-1][j+xkl][k+1+xkl]+dp[i-1][j+xkl][k-1+xkl]+dp[i-1][j-1+xkl][k+xkl]+dp[i-1][j+1+xkl][k+xkl])%mod;
            }
        }
    }
    cout<<dp[t][n+xkl][m+xkl]%mod<<endl;
    return 0;
}

它可以走到-t，所以要防爆

正解：（转载Barca）

我们设ri,le,up,down分别为向右左上下走的步数，且总步数为T，

然后我们只要知道，向一个方向走的步数就能得到其他的，但是我们发现光凭一个是求不出的，

我们再转化一下思路，我们设在上下方向走的步数为k,则up+down=k,

然后又因为他最后必须走到(n,m)，所以向上走的步数减去向下走的步数为m,即up-down=m，

同理我们可以求出ri与le的关系，同样是两个方程，

这样我们就可以通过枚举k，来得到向各个方向走的步数，这样就能列出组合数的式子了，即：

ans=(不知为何我数学公式挂了)

$\sum \limits_{k=m}^{t-n}C_t^k*C_k^{\frac{k-m}{2}}*C_{n-k}^{\frac{t-k-n}{2}}$

-------->这有什么错吗？

但你这样也只有60分，因为mod不一定是质数

那我们可以CRT合并

先对mod分解因数，再用lucas求出mod每个因数下的ans，然后发现一个方程组

$\begin{cases} x & \equiv & ans_1 (mod\ p_1) \\ x & \equiv & ans_2 (mod\ p_2) \\ & \vdots & \\ x & \equiv & ans_n (mod\ p_n) \end{cases}$

from Rorschach_XR 为什么今天我Latex挂掉了，rp++14：38它终于好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
#define MAXN 100005
using namespace std;
ll t,n,m,mod,ans[MAXN];
ll q_pow(ll a,ll b,ll p){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=(res*a)%p;
		a=(a*a)%p;
		b>>=1;
	}
	return res%p;
}
ll tot=0,prime[MAXN];
void divide(ll p){//分解质因数
	ll t=(ll)sqrt(p);
	for(ll i=2;i<=t;i++){
		if(p%i==0){
			prime[++tot]=i;
			p/=i;
		}
	}
	if(p>1) prime[++tot]=p;
}
ll fac[MAXN];
void get_fac(ll p){
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(ll i=2;i<=t;i++) 
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}
ll C(ll n,ll m,ll p){
	if(m>n) return 0;
	return fac[n]*q_pow(fac[m]*fac[n-m]%p,p-2,p)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p){
	if(m==0) return 1;
	return C(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
ll CRT(ll ans[]){
	ll res=0;
	for(ll i=1;i<=tot;i++)
		res=(res+mod/prime[i]*ans[i]%mod*q_pow(mod/prime[i],prime[i]-2,prime[i])%mod)%mod;
	return res;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&t,&mod,&n,&m);
	if(n<0) n=-n;
	if(m<0) m=-m;
	divide(mod);//分解质因数
	for(ll i=1;i<=tot;i++){
		get_fac(prime[i]);//mod(prime[i])意义下的fac
		for(ll k=n;k<=t-m;k+=2)//步数不能为1
			ans[i]=(ans[i]+lucas(t,k,prime[i])*lucas(k,(k-n)/2,prime[i])%mod*lucas(t-k,(t-m-k)/2,prime[i])%mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",CRT(ans)%mod);
	return 0;
}