BZOJ 1485: [HNOI2009]有趣的数列(卡特兰数)

题面：

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

 

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

 

Sample Input

3 10

Sample Output

5
HINT：

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

题解：你可以先想到一个dp，但只能50分
但你把答案输出，会发现是卡特兰数，所以只要求卡特兰数即可
但是模数不是质数，不能用逆元
所以我们考虑将组合数越分
计算出每个质因子出现了几次，在分子就加一，在分母上减一，最后乘起来即可

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
const ll MAXN=2e6+5;
ll n,mod,num[MAXN],pos[MAXN],prime[MAXN],tot=0,ans=1;
bool is_prime[MAXN];
void get_prime(){
	memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
	for(int i=2;i<=2*n;i++){
        if(is_prime[i]) 
			prime[++tot]=i,pos[i]=tot;
        for(int j=1;i*prime[j]<=2*n&&j<=tot;j++){
            is_prime[i*prime[j]]=0;
			pos[i*prime[j]]=j;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&mod);
	get_prime();							//素数线性筛
	for(ll i=n+2;i<=n*2;i++){
		ll j=i;								//分解质因数（分子），num[i]表示i乘几次
		while(j!=1){
			num[pos[j]]++;
			j/=prime[pos[j]];
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll j=i;								//分解质因数（分母）
		while(j!=1){
			num[pos[j]]--;
			j/=prime[pos[j]];
		}
	}
    for(ll i=1;i<=tot;i++){
		while(num[i]--) 
			ans=(ans*prime[i])%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}