关于因数个数的估计

根据知乎提问：n的正因子个数d(n)有没有上界公式？ 的某一篇回答：

依次进行正因子个数的上界估计。

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根据常规 64 位 C++ 编译器，已定义好的最大可处理数字为无符号 128 位数。

由 \(\lg 2^{128}={128\ln 2\over \ln 10}=38.531839444989586\) 得到，数字大小最大为 \(10^{38}\) 数量级。

代入该公式，设 \(f=1.0660186782978\) ，则 \(d(n)\leq n^{f\over \ln\ln n}\) 。

根据因子成对出现的性质，显然有 \(d(n)=O(n^{1\over 2})\) 。

故接下来对能覆盖到 \(10^38\) 范围内的数字，因子数量复杂度低于该数量级的数字进行讨论。

若使得因子数量复杂度为 \(O(n^{1\over a})\) 级别，则 \({1\over a}={f\over \ln\ln n}\) 得到 \(n=\exp(\exp(af))\) 。

而 \(2^{128}\) 范围内的数字大小，只要求解 \(a\leq {\ln \ln n\over f}=4.207728658657603\) 范围内的数即可。

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根据上文分析，写出 Python 代码打表得到：

from math import exp, log, ceil
a = [i/10 for i in range(21, 51)]
f = 1.0660186782978
n = [exp(exp(aa*f)) for aa in a]
n = [ceil(e) for e in n]

因数据过大，对数据进行了一定的处理。打表结果如下：

\(a\)	\(n\) 的近似值（精确到 \(1\) 位有效数字）
\(2.1\)	\(1.2\times 10^{4}\)
\(2.2\)	\(3.5\times 10^{4}\)
\(2.3\)	\(1.2\times 10^{5}\)
\(2.4\)	\(4.1\times 10^{5}\)
\(2.5\)	\(1.8\times 10^{6}\)
\(2.6\)	\(8.8\times 10^{6}\)
\(2.7\)	\(5.3\times 10^{7}\)
\(2.8\)	\(4.0\times 10^{8}\)
\(2.9\)	\(3.7\times 10^{9}\)
\(3.0\)	\(4.4\times 10^{10}\)
\(3.1\)	\(6.8\times 10^{11}\)
\(3.2\)	\(1.5\times 10^{13}\)
\(3.3\)	\(4.4\times 10^{14}\)
\(3.4\)	\(2.0\times 10^{16}\)
\(3.5\)	\(1.4\times 10^{18}\)
\(3.6\)	\(1.5\times 10^{20}\)
\(3.7\)	\(2.7\times 10^{22}\)
\(3.8\)	\(8.9\times 10^{24}\)
\(3.9\)	\(5.7\times 10^{27}\)
\(4.0\)	\(7.6\times 10^{30}\)
\(4.1\)	\(2.3\times 10^{34}\)
\(4.2\)	\(1.7\times 10^{38}\)
\(4.3\)	\(3.3\times 10^{42}\)
\(4.4\)	\(2.0\times 10^{47}\)
\(4.5\)	\(4.2\times 10^{52}\)
\(4.6\)	\(3.5\times 10^{58}\)
\(4.7\)	\(1.4\times 10^{65}\)
\(4.8\)	\(2.8\times 10^{72}\)
\(4.9\)	\(4.0\times 10^{80}\)
\(5.0\)	\(4.7\times 10^{89}\)