部分常见数的奇偶性归纳

1. 欧拉函数

定义欧拉函数 \(\boldsymbol \varphi(n)\) 为 \([1,n]\) 中，与 \(n\) 互质的数的个数。

\(2\nmid \boldsymbol \varphi(n)\) 当且仅当 \(n=1\vee n=2\)

证明：

根据欧拉函数的积性，对于 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^m p_i^{e_i}\Rightarrow \boldsymbol \varphi(n)=\prod_{i=1}^m p_i^{e_i-1}(p_i-1)\)

当 \(n=1\) 时，\(\boldsymbol \varphi(1)=1\)

当 \(n\) 含有任意非 \(2\) 质因数 \(p\) 时，一定有 \(2\nmid p\) ，因此 \(2\mid (p-1)\) ，故 \(2\mid \boldsymbol \varphi(n)\)

当 \(n\) 仅含有质因数 \(2\) 时， \(\boldsymbol \varphi(n)=\boldsymbol \varphi(2^k)=2^{k-1}\Rightarrow [2\nmid \boldsymbol \varphi(n)]=[2\nmid 2^{k-1}]=[k=1]\)

推论：

当 \(n\neq 1,2,3,4,6\) 时，\(\boldsymbol \varphi(n)\) 为合数

证明：

\(\boldsymbol \varphi(1)=\boldsymbol \varphi(2)=1\)

\(\boldsymbol \varphi(3)=\boldsymbol \varphi(4)=2\)

\(\boldsymbol \varphi(6)=3\)

\(\boldsymbol \varphi(5)=4\) 属于合数

根据递推式 \(\boldsymbol \varphi(p\cdot n)= \begin{cases} (p-1)\cdot \boldsymbol \varphi(n),p\nmid n \\\ \\ p\cdot \boldsymbol \varphi(n),p\mid n \end{cases}\)

当 \(n>2,p\mid n\) 时，\(\boldsymbol \varphi(p\cdot n)=p\cdot \varphi(n)\) 必为合数

当 \(n=2,p\mid n\) 时，\(p=2\Rightarrow p\cdot n=2\cdot 2=4<6\)

当 \(n=1\vee n=2\) 时，对于 \(\forall p>6,\boldsymbol \varphi(p\cdot n)=(p-1)\cdot 1=2\cdot {p-1\over 2}\geq 2\cdot {7-1\over 2}=2\cdot 3\) 必为合数

当 \(n>2\) 时，对于 \(\forall p\nmid n\)

若 \(p>2\) 则 \(\boldsymbol \varphi(p\cdot n)=(p-1)\cdot \boldsymbol \varphi(n)\) 必为合数

若 \(p=2\) 则 \(n>3\) 时 \(\boldsymbol \varphi(p\cdot n)=\boldsymbol \varphi(n)\) 必为合数

故对于 \(\forall n>6,\boldsymbol \varphi(n)\) 为合数

综上，当 \(n\neq 1,2,3,4,6\) 时 \(\boldsymbol \varphi(n)\) 为合数

2. 莫比乌斯函数

对于 \(\forall n\) ，若 \(\exist p\text{ s.t. }p^2\mid n\) 则 \(2\mid \boldsymbol \mu(n)\) ；否则 \(2\nmid \boldsymbol\mu(n)\)

证明：

当且仅当 \(\exist p\text{ s.t. }p^2\mid n\) 时，\(\boldsymbol \mu(n)=0\) ，此时为偶数；否则 \(\boldsymbol \mu(n)=\pm 1\) ，为奇数

3. 组合数

定义 \(\left( \begin{matrix} n \\ m \end{matrix} \right)\) 为 \(n\) 个数中选 \(m\) 个的方案数。

当且仅当 \(m\subseteq n\) （即 \(n\&m=m\) ）时为奇数，否则为偶数。

证明：

显然可知 \(\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right)=1, \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)=0, \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right)=1, \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)=1\)

根据卢卡斯定理，对于 \(\forall p,\left( \begin{matrix} n \\ m \end{matrix} \right)\bmod p= \left( \begin{matrix} n/p \\ m/p \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} n\bmod p \\ m\bmod p \end{matrix} \right)\bmod p\)

故 \(\left( \begin{matrix} n \\ m \end{matrix} \right)\mod 2= \left( \begin{matrix} n/2 \\ m/2 \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} n\bmod 2 \\ m\bmod 2 \end{matrix} \right)\bmod 2\)

要使得该组合数为奇数，则前后两项均应同余 \(1\) ；由于 \(n\bmod 2,m\bmod 2\in[0,1]\) ，根据上面的等式，需满足：\(n\bmod 2\neq 0\vee m\bmod 2\neq 1\)

若将 \(0,1\) 分别视为某一元集 \(\{a\}\) 不选择元素 \(a\) 与选择元素 \(a\) 构成的集合 \(\varnothing,\{a\}\) 则 \(n\bmod 2\neq \varnothing \vee m\bmod 2\neq \{a\}\)

等价于 \((m\bmod 2)\subseteq(n\bmod 2)\)

由于 \(n\bmod 2,m\bmod 2\) 等价于 \(n,m\) 的二进制第 \(0\) 位，故记为 \(m_0\subseteq n_0\)

递归考虑 \(\left( \begin{matrix} n/2 \\ m/2 \end{matrix} \right)\) ，其等效于考虑 \(n,m\) 各右移一位产生的新二进制数 \(n',m'\) 意义下的组合数 \(\left( \begin{matrix} n' \\ m' \end{matrix} \right)\)

递归考虑下去，等价于 \(m_1\subseteq n_1,m_2\subseteq n_2,\cdots\)

即 \(m\subseteq n\)

根据 \(m\subseteq n\Leftrightarrow m\cap n=m\)

故当且仅当 \(m\&n=m\) 时，组合数 \(\left( \begin{matrix} n \\ m \end{matrix} \right)\) 为奇数

推论：

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n [2\nmid \left( \begin{matrix} n \\ i \end{matrix} \right)]=2^{|n|}\) 。其中，\(|n|\) 表示 \(n\) 在二进制意义下 \(1\) 的个数。

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n [2\nmid \left( \begin{matrix} n \\ i \end{matrix} \right)]=\sum_{i=0}^n [i\subseteq n]\)

设 \(n\) 二进制意义下为 \(l\) 位，则考虑 \(l\) 元集 \(\{a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{l-1}\}\) 作为全集 \(E\)

\(n\) 表示二进制对应 \(1\) 位选，其余位不选的 \(E\) 的 \(|n|\) 元子集

故 \(\forall i\subseteq n,i\subseteq E\) ，而 \(n\) 的子集个数 \(|P(n)|=2^{|n|}\)

因此 \(\displaystyle \sum_{i=0}^n [i\subseteq n]=2^{|n|}\)