关于有理小数与最简分数的关系
命题
有理小数与最简分数一一对应
这里的有理小数指一切整数、有限小数、无限循环小数
最简分数需满足以下条件：
- 分子分母为整数
- 分母一定为正数
- 若分子不为 \(0\) ，则一定与分母最大公因数为 \(1\)
- 若分子为 \(0\) ，则分母为 \(1\)
证明
规定
- \(gcd(a,b)\) 表示 \(a,b\) 的最大公因数，显然，必须为正数
- \(\lfloor x\rfloor\) 即向下取整函数，表示不大于 \(x\) 的最大整数
- 集合 \(N\) 指自然数集，包括所有非负整数
- \(a\equiv b(\mod p)\) 指 \(a\) 与 \(b\) 除以 \(p\)，余数相同
- \(\boldsymbol \varphi(n)\) 指欧拉函数在 \(n\) 处的取值，即不大于 \(n\) 的正整数中，与 \(n\) 互质的数的个数
- \(a\mid b\) 指 \(a\) 整除 \(b\)，即 \(a\) 是 \(b\) 的因数；\(a\nmid b\) 即 \(a\) 不整除 \(b\)
- 集合 \(Z\) 指整数集，包括所有整数
充分性
先证明对于一切有理小数，有且仅有一个满足上述条件的最简分数与之相等
1. 当有理小数为整数 \(x\) 时
对应唯一最简分数 \({x\over 1}\)
2. 当有理小数为有限小数 \(y\) 时
设 \(y\) 的位数为 \(n\)
\(\therefore y\times 10^n\) 一定为整数
\(\therefore y={y\times 10^n\over 10^n}\)
记 \(p=y\times 10^n,q=10^n,g=gcd(p,q)\)
\(\therefore y={p\over q}={({p\over g})\over ({q\over g})}\)
为最简分数
3. 当有理小数为纯无限循环小数 \(t\) 时
这里的纯无限循环小数需满足以下两个条件：
- 整数部分为 \(0\)
- 小数部分从第一位开始循环
先考虑正数情况：
设该正无限循环小数的循环位数为 \(m\)
\(\therefore t\times 10^m\) 相当于把小数点往右移动了 \(m\) 位，刚好取出了一个循环节
\(\therefore (t\times 10^m-t)\) 刚好减去循环部分，得到一个整数，记为 \(p\)
同时，又记 \(q=10^m-1,g=gcd(p,q)\)
\(\therefore t={t\times (10^m-1)\over 10^m-1}={t\times 10^m-t\over q}={p\over q}={({p\over g})\over ({q\over g})}\)
为最简分数
若为负数，则存在唯一的最简分数 \({p\over q}=|t|=-t\)
故其对应唯一最简分数 \({-p\over q}\)
4. 当有理小数为无限循环小数 \(z\) 时
同样先考虑正数的情况：
设 \(z\) 开始循环的数位是第 \(n\) 位
则 \(\lfloor z\times 10^{n-1}\rfloor\) 即为不循环的数位，将之记为 \(a\)
故 \((z\times 10^{n-1}-a)\) 即为纯无限循环小数，将之记为 \(b\)
\(\therefore z\times 10^{n-1}-a=b\)
\(\therefore z={a+b\over 10^{n-1}}\)
由 \(2\) 得，存在最简分数 \({p_1\over q_1}\) 使得 \(a={p_1\over q_1}\)
由 \(3\) 得，存在最简分数 \({p_2\over q_2}\) 使得 \(b={p_2\over q_2}\)
\(\therefore z={a+b\over 10^{n-1}}={({p_1\over q_1}+{p_2\over q_2})\over 10^{n-1}}={p_1q_2+p_2q_1\over q_1q_1\times 10^{n-1}}\)
同样，记 \(p=p_1q_2+p_2q_1,q=q_1q_1\times 10^{n-1},g=gcd(p,q)\)
\(\therefore z={p\over q}={({p\over g})\over ({q\over g})}\) 为最简分数
若为负数，则存在唯一的最简分数 \({p\over q}=|t|=-t\)
故其对应唯一最简分数 \({-p\over q}\)
综上，充分性得证
必要性
下面证明对于所有满足上述条件的最简分数，有且仅有一个有理小数与之相等
先考虑正数的情况：
不妨设最简分数为 \({p\over q}\)
1. 若 \(q=10^n,n\in N\)
相当于对于整数 \(p\)，将其小数点左移 \(n\) 位
故其对应唯一有理小数，且必定为整数或有限小数
2. 若 \(q\) 只含有质因数 \(2,5\)
不妨设 \(q=2^{c_2}\times 5^{c_5}={10^n\over k^m}(n=max(c_2,c_5),k=2\text{ or }5,m=n-c_k)\)
\(\therefore {p\over q}={p\over ({10^n\over k^m})}={p\times k^m\over 10^n}\)
由 \(1\) 得，对应唯一有理小数
又由于对于所有整数或有限小数，其对应的唯一最简分数，分母一定为 \(10^n\) 的因数，故一定只含有质因数 \(2,5\)
因此整数、有限小数，与质因数只含有 \(2,5\) 的最简分数一一对应
3. 若 \(q\) 不含有质因数 \(2,5\) ，\(p=1\)
由于其不可化为 \(1,2\) 所述形式，故其对应有理小数一定不为整数与有限小数
故若其有对应的有理小数
则有理小数一定为无限循环小数
由欧拉定理得， \(10^N\equiv 1(\mod q)\) 对满足该条件的 \(q\) 一定存在解 \(N=\boldsymbol \varphi(q)\)
故此时 \(10^N-1\equiv 0(\mod q)\)
\(\therefore q\mid(10^N-1)\)
\(\therefore {10^N-1\over q}=(10^N-1)\times {p\over q}\) 一定为整数
记 \(A={p\over q},B=10^N\times A,C=(10^N-1)A=10^N\times A-A=B-A\in Z\)
由上可得 \(A\) 一定不为整数或有限小数，则 \(A\) 一定为无限小数
由于 \(B=10^N\times A\) 相当于 \(A\) 的小数点右移 \(N\) 位
\(\because C=B-A\in Z\)
\(\therefore A\) 的小数点右移 \(N\) 位后，其小数位与不移动时相同
\(\therefore A\) 的小数具有长度为 \(N\) 的循环节
\(\therefore\) 上述的 \({p\over q}\) 具有唯一对应的有理小数
4. 若 \(q\) 不含有质因数 \(2,5\) ，\(p\neq 1\)
由 \(3\) 得，存在唯一的有理小数 \(n\) 使得 \(n={1\over q}\)
\(\therefore pn={p\over q}\) 为其对应的唯一有理小数
5. 若 \(q\) 含有因数 \(2,5\) 以及其它质因数
不妨设 \(q=2^{c_2}\times 5^{c_5}\times q'={10^n\over k^m}\times q'(n=max(c_2,c_5),k=2\text{ or }5,m=n-c_k,2\nmid q',5\nmid q')\)
\(\therefore {p\over q}={p\over {10^n\over k^m}\times q'}={({p\times k^m\over q'})\over 10^n}\)
由 \(4\) 得，存在唯一有理小数 \(t\) 使得 \(t={p\times k^m\over q'}\)
故 \({p\over q}={t\over 10^n}\)
相当于将 \(t\) 的小数点左移 \(n\) 位，为有理小数
综上，必要性得证
综和充分性与必要性得，有理小数与最简分数一一对应
推论
- 所有整数、有限小数、无限小数，对应唯一的最简分数形式
- 所有分数对应唯一整数、有限小数或无限小数
- 实数范畴内，所有无理数一定对应无限不循环小数
- 实数范畴内，所有无限不循环小数一定对应无理数
