第一册 集合，函数
集合
1. 集合的概念与表示
- 集合的概念
- 定义： 由若干元素组成的整体.
- 性质： 确定性、互异性、无序性.
- 元素与集合的关系
如果 \(a\) 是集合 \(A\) 的元素，则 \(a \in A\) ，否则 \(a \notin A\) .
- 表示方法
- 列举法： \(A=\{1,2,3,4,5\}\),\(B=\{1,2,3 \dots ,40\}\) .
- 描述法： \(A=\{x|x为偶数 \}\),\(B=\{(x,y)|y=x^2\}=\{(x,x^2|x \in \Bbb{R}\}\) .
- 常用数集
- 自然数集 \(\Bbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\) ;
- 正整数集 \(\Bbb{N}^{*}=\{0,1,2, \dots\}\) ;
- 整数集 \(\Bbb{Z}=\{\dots ,-1,-1,0,1,2, \dots\}\) ;
- 有理数集 \(\Bbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a,b \in \Bbb{Z} ,b \not= 0\}\) ;
- 实数集 \(\Bbb{R}=数轴上点的集合\) .
- 例题
- \(\varnothing \in \{\varnothing\}\) 且 \(\varnothing \nsubseteqq \{\varnothing\}\)
- \(\{x \in \Bbb{R} | y=\frac{1}{x}\} = \{y \in \Bbb{R} | y=\frac{1}{x} \}\)
- 已知 \(\{1,a,\frac{b}{a}\} = \{0,a^2,a+b\}\)，则求 \(a\)，\(b\) 的值.
易证 \(b=0\).
\(\therefore a=a^2\) 即 \(a= \pm 1\)
又 \(\because\) 当 \(a=1\) 时两集合不满足互异性
\(\therefore a=-1\) - 已知集合 \(A=\{x|(ax-1)(a-x)>0\}\), 且 \(2 \in A , 3 \notin A\) ，则实数 \(a\) 的取值范围是？
由题可知：
\(\begin{cases}(2a-1)(a-2)>0\\(3a-1)(a-3) \le 0\end{cases}\\\)
可得 \(\frac{1}{3} \le a < \frac{1}{2}\) 或 \(2 < a \le 3\).
2. 集合的关系与运算
-
集合间的关系
- 子集
- 对于两个集合 \(A,B\) ，如果集合 \(A\) 中的任意一个元素都是集合 \(B\) 的元素，就称集合 \(A\) 为集合 \(B\) 的子集，记作 \(A \subseteq B\) （或 \(B \supseteq A\)）。
- 特别的，若集合 \(A \subseteq B\) 且存在一元素 \(x\) 使 \(x \in B\) 且 \(x \notin A\)，就称集合 \(A\) 为结合 \(B\) 的真子集，记作 \(A\subsetneqq B\) （或 \(B \supsetneqq A\)）。
规定： \(\varnothing\) 是任意集合的子集，且是任意非空集合的真子集。
- 相等
对于两个集合 \(A,B\) ，如果集合 \(A\) 与集合 \(B\) 中的元素是一样的，就称集合 \(A\) 与集合 \(B\) 相等，记作 \(A=B\)。
两个集合相等可以通过 \(A \subseteq B\) 且 \(B \subseteq A\) 来说明。 - 子集的个数
对于一个有 \(n\) 个元素的集合（ \(n\) 元集），其子集的个数分以下几种情况：- 子集 \(2^n\) 个；
- 真子集 \(2^n-1\) 个；
- 非空真子集 \(2^n-2\) 个。
- 子集
-
集合的基本运算
1. 并集
一般地，有所有属于集合 \(A\) 或属于集合 \(B\) 的元素组成的集合，称为结合 \(A\) 与 集合 \(B\) 的并集，记作 \(A \cup B\) （读作 \(A\) 并 \(B\)） ，即 \(A \cup B=\{x|x \in A,或 x\in B\}\) 。
2. 交集
一般地，有所有属于集合 \(A\) 且属于集合 \(B\) 的元素组成的集合，称为结合 \(A\) 与 集合 \(B\) 的交集，记作 \(A \cap B\) （读作 \(A\) 交 \(B\)） ，即 \(A \cap B=\{x|x \in A,且 x\in B\}\) 。
3. 补集
- 一般地如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作 \(U\)。
- 对于一个集合 \(A\)，由全集 \(U\) 中不属于集合 \(A\) 的所有元素组成的集合称为集合 \(A\) 相对于全集 \(U\) 的补集，记作 \(\complement_UA\)，即 \(\complement_UA=\{x|x \in U 且 x\notin A\}\)。
4. 差集
由所有属于集合 \(A\) 且不属于集合 \(B\) 的元素构成的集合称为集合 \(A\) 关于集合 \(B\) 的差集，记作 \(A - B\) ，即 \(A-B=\{x|x \in A,且 x \notin B\}\)。 -
集合的运算性质
- 交换律： \(A \cup B=B \cup A,A\cap B=B \cap A\)；
- 结合律： \(A \cup (B \cup C)=(A \cup B) \cup C,A \cap (B \cap C)=(A \cap B) \cap C\)；
- 分配律： \(A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C),A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)\)；
- 吸收律： \(A \cup (A \cap B)=A,A \cap (A \cup B)=A\)；
- 对偶律（德·摩根律）： \(\complement_U(A \cup B)=\complement_U(A) \cap \complement_U(B),\complement_U(A \cap B)=\complement_U(A) \cup \complement_U(B)\)。
-
Venn 图
我们常用平面内的封闭曲线的内部表示一个集合，这种表示法被称为 Venn 图。Venn Diagram -
例题
- 集合 \(P=\{x|x^2-5x+6=0\},M=\{x|mx-1=0\}\)，若 \(M \subseteq P\) ，则满足条件的实数 \(m\)组成的集合为：
若 \(M=\varnothing\) ，则 \(m=0\) ；
否则 \(M \not = \varnothing\)，解一元二次方程可得 \(P=\{2,3\}\)，进而可得 \(m=\frac{1}{2}\) 或 \(m=\frac{1}{3}\)。
所以答案为 \(\{0,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\}\)。
（注意考虑 \(m=\varnothing\) 的情况） - 设全集 \(U=\Bbb{R}\)，集合 \(A=\{x|x^2+ax-12=0\},B=\{x|x^2+bx+b^2-28=0\}\),若 \(A \cap \complement_UB=\{2\}\)，求 \(a,b\) 的值。
由题可知 \(2 \in A\)
\(\therefore 2^2+2a-12=0\)
\(\therefore a=4\) \(\therefore A=\{-6,2\}\)
\(\therefore -6 \in B,-2 \not \in B\)
\(\therefore 36-6b+b^2-28=0\)
\(\therefore (b-2)(b-4)=0\) \(\therefore b=2\) 或 \(b=4\)
经检验当 \(b=4\) 时 \(2 \in B\)，矛盾，当 \(b=2\) 时， \(2 \not\in B\)，符合条件。
\(\therefore a=4,b=2\) - 已知集合 \(A,B,C\)（不必相异）的并集 \(A\cup B\cup C=\{1,2,\dots ,n\}\)，则满足条件的有序三元组 \(A,B,C\) 的个数是：\(7^n\)。
三个集合组成的 Venn 图共有 \(7\) 个部分，把 \(1,2,\dots ,n\) 依次放入，可得答案。
- 集合 \(P=\{x|x^2-5x+6=0\},M=\{x|mx-1=0\}\)，若 \(M \subseteq P\) ，则满足条件的实数 \(m\)组成的集合为：
-
逻辑联结词、远程与存在量词
- 逻辑联结词
- 命题
定义：能够判断真假的语句
分类：按命题的正确与否，可分为真命题，假命题；按是否含有逻辑联结词，可分为简单命题，复合命题。 - 逻辑联结词
或（ \(\lor\) ），且（ \(\land\) ），非（ \(\lnot\) ）。 - 判断复合命题的真假
研究复合命题的构成形式；判断其中简单命题的真假；根据真值表判断复合命题的真假。
- 命题
- 全称量词与存在量词
- 全称量词是指在语句中含有短语“所有的”、“每一个”、“任意”、“一切”等表示该指定范围内的全体对象的含义的词，并用符号 \(\forall\) 表示。
- 存在量词是指在语句中含有短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”等表示存在意义的词，并用符号 \(\exists\) 表示。
- 一般地，对于全称命题 \(p: \forall x \in M,p(x)\)，它的否定命题 \(\lnot p: \exists x \in M,\lnot p(x)\)；对于特殊命题 \(p: \exists x \in M,p(x)\)，它的否定命题 \(\lnot p: \forall x \in M,\lnot p(x)\)；全称命题的否定是特殊命题，特殊命题的否定是全称命题。
- 例题
- 逻辑联结词
-
命题及其关系、充分必要条件
- 四种命题
一般地，用 \(p\) 和 \(q\) 分别表示原命题的条件和结论，用 \(\lnot p\) 和 \(\lnot q\) 表示 \(p\) 和 \(q\) 的否定，于是，四种命题的形式为：- 原命题：若 \(p\) 则 \(q\) （ \(p \Rightarrow q\) ）；
- 逆命题：若 \(q\) 则 \(p\) （ \(q \Rightarrow p\) ）；
- 否命题：若 \(\lnot p\) 则 \(\lnot q\) （ \(\lnot p \Rightarrow \lnot q\) ）;
- 逆否命题：若 \(\lnot q\) 则 \(\lnot p\) （ \(\lnot q \Rightarrow \lnot p\) ）。
- 四种命题
函数
1. 函数的基本概念
- 集合的映射
设 \(a\)，\(B\) 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 \(f\) ，使对于集合 \(A\) 中的任意一个元素 \(a\)，在集合 \(B\) 中都拥有唯一的元素 \(b\) 与之对应，那么就称对应 \(f:A \to B\) 为从集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的一个映射。
其中 \(b\) 称为元素 \(a\) 在映射 \(f\) 下的像，记作 \(b=f(a)\)。\(a\) 称为 \(b\) 关于映射 \(f\) 的原像。集合 \(A\) 中所有元素的像称为映射 \(f\) 的值域，记作 \(f(A)\)。 - 函数的定义
函数通常定义在数集上。数集通常指的是实数集或它的子集。常用的数集见上文。
如果非空集合 \(A\)，\(B\) 都是数集，那么映射 \(f:A \to B\) 称为是集合 \(A\) 上的一个函数，记作 \(y=f(x),x \in A\)。其中 \(x\) 叫自变量，\(y\) 叫做因变量。如果自变量取值 \(a\)，则由法则 \(f\) 确定的值 \(y\) 称为函数在 \(a\) 处的函数值，记作 \(y=f(a)\) 或 \(y|_{x=a}\)。自变量 \(x\) 的取值范围（数集 \(A\)）叫做这个函数的定义域，因变量 \(y\) 的取值范围 \(\{y|y=f(x),x \in A\}\) 叫做这个函数的值域。
浙公网安备 33010602011771号