CF27D Ring Road 2

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挺经典的题，是 P3209 [HNOI2010] 平面图判定 的无限弱化版。

考虑连边只会有两种情况，一种是连接的边在环内，一种是连接的边在环外，不妨定义在环内取 $1$，在环外取 $0$。

如果两条边同时连在环内或者同时在环外有相交的话，这时候就出现矛盾了，很显然，如果其中任意一条边取 $1$ 的话，那么剩下那条边就必须取 $0$。

这就是一个很经典的 $a \oplus b$ 的格式了吧，对于这个我们当然可以考虑用 2-SAT 直接解决。

但是对于这种格式，我们同样可以通过二分图染色的方式进行解决，对于有矛盾的两条边直接对他们的编号连无向边，边的含义就是两端点不能同时颜色相同，钦定开始为 $1$ 进行二分图染色，如果矛盾则无解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e5+10;
vector<int> g[N<<1];
int n,m,c[N],vis[N],U[N],V[N],cal[N],flag;
bool vis1[N][3];
stack<int> sta;
void Add(int u,int v){
	g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
}
void color(int u,int col){
	vis[u]=1,c[u]=col;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++){
		int v=g[u][i];
		if(c[v]!=0&&c[v]!=-col)	flag=false;
		if(c[v]==0)	color(v,-col);
	}
}
int main()
{
	flag=true;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)	cin>>U[i]>>V[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)	if(U[i]>V[i])	swap(U[i],V[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=i+1;j<=m;j++){
			if(i==j)	continue;
			if(U[i]==U[j]||V[i]==V[j])	continue;
			if((U[i]<U[j]&&V[i]>U[j]&&V[i]<V[j])||(U[i]>U[j]&&U[i]<V[j]&&V[i]>V[j]))	Add(i,j);
		}
	for(int i=1;i<=2*m-1;i++)	if(!vis[i])	color(i,1);
	if(flag==false)	cout<<"Impossible"<<endl;
	else{
		for(int i=1;i<=m;i++)	cout<<((c[i]==1)?"o":"i");
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}