高中数学必修一の拳乱笔记

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有些人早就学完了。

让人感慨，自己也应该是去年的这个时候开始学习组合数学的，但是现在已经忘了差不多了。

这下算是转进whk了？

提前学一点高中东西，恐怕对后面停课和OI，都是有帮助的吧。

1.集合

其实怎么说，这里的概念无论是初中数学还是平常OI做题都会涉及了解多多少少的一些，这里做一个总结归纳罢了、

1.1 集合

对于具有某种共通性质的事物，我们把他称为集合。其中的各个事物称之为元素。

比如说，某个学校的全体成员称为一个集合。

然后定义：

• 全体自然数的集合记为 $\mathbb{N}$
• 全体正整数的集合记为 $\mathbb{N^+},\mathbb{Z^+}$
• 全体整数的集合记为 $\mathbb{Z}$
• 全体有理数的集合记为 $\mathbb{Q}$
• 全体实数的集合记为 $\mathbb{R}$
• 全体复数集合记为 $\mathbb{C}$

对于上述的集合，我们可以用一个 + 表示取正的部分，用 - 表示取负的部分，用 * 代表剔除 $0$。

比如说，$\mathbb{Q^+}$ 表示全体正有理数的集合，以及我们对正整数的定义。

这些集合我们称为数集。

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考虑继续定义。

对于普通的集合，我们就没有必要使用 \mathbb{} 进行标记了，\mathbb{} 只是用来区分数集。

对于集合 $A$，如果有有限个，称为有限集，否则称 $A$ 为无限集，用 $|A|$ 表示集合 $A$ 中的元素个数，称为基数。

对于空集，我们记为 $\varnothing$，显然 $A=\varnothing$ 和 $|A|=0$ 等价。

注意我们只讨论有限集、

1.2 从属关系

如果 $a$ 是 $A$ 中的元素，我们称 $a$ 属于 $A$，记为 $a \in A$，反之，我们称 $a$ 不属于 $A$，记为$a \not\in A$。

可以把集合内所有数列出来表示集合，如 $A=\{1,2,3\}$。这种表示方式要求集合内数字不能重复。

如果元素较多，可以考虑这样一种方式，如 $B=\{b|b \mod 2=0\}$ 表示所有的偶数。竖线前面表示元素，后面表示约束条件，这种表示方式可以重复，但是实际上会去重。

集合具有如下性质：

• 确定性：元素是客观真实的。
• 互异性：元素不重复，比如 $\{1,1,2\}$ 就不是一个合法的集合。由此延伸可重集。
• 无序性：我们认为 $\{1,2,3\}$ 和 $\{1,3,2\}$ 是等价的。由此延伸出有序集。

还是定义，若 $a<b$：

• 用 $(a,b)$ 表示 $\{x|a<x<b\}$，$[a,b]$ 表示 $\{x|a \le x\le b\}$。同理有 $(a,b]$ 和 $[a,b)$。我们定义 $($ 为开区间，表示取不到当前的位置，$]$ 为闭区间，表示可以取到。

• 用 $(a,+∞)$ 表示 $\{x|x>a\}$，用 $(-∞,a)$ 表示 $\{x|x<a\}$，其中 $∞$ 表示无穷。

1.3 包含

有两个集合 $A,B$。

如果 $A$ 所有元素都在 $B$ 中，我们称 $A$ 是 $B$ 的子集，记为 $A\subseteq B$ 或 $B \supseteq A$，读作 $A$ 包含于 $B$，$B$ 包含 $A$。

如果 $A$ 中任意一个元素不在 $B$ 中，我们称 $A$ 不是 $B$ 的子集，记为 $A\not\subseteq B$ 或者$B \not\supseteq A$。

如果 $A\subseteq B$ 且 $B$ 至少有一个元素不在 $A$ 中，我们称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记为 $A\subset B$ 或者 $B\supset A$，读作 $A$ 真包含于 $B$，$B$ 真包含 $A$。

如果说 $A \not\subseteq B$ 或 $A=B$，我们称 $A$ 不是 $B$的真子集，记为 $A \not\subset B$ 和 $B\not\supset A$。

比如说，$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$。

显然有 $A \subseteq A$（自反性），$A\not\subset A$（反自反性）。

如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq C$，显然说明 $A \subseteq C$（传递性）。

如果说 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，可以推出 $A=B$（反对称性），这是判断集合相等的重要性质。

$A\subseteq B$ 说明 $B$ 至少有 $0$ 个元素不在 $A$ 中，$B\subseteq A$ 说明了恰好为 $0$ 个。

我们认为 $\varnothing$ 是任何一个集合的子集。

1.4 并与交

给定两个集合 $A,B$。

称 $C=\{x|x\in A \vee x \in B\}$ 为 $A,B$ 的并集，记为 $A∪B$。

称 $C=\{x|x \in A \land x\in B\}$ 为 $A,B$ 的交集，记为 $A\cap B$。

比如，$A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5\}$，$A \cup B=\{1,2,3,4,5\}$，$A \cap B=\{3\}$。

显然，$A \cap B \subseteq A,B$，$A,B\subseteq A \cup B$，以及可以对 $A$ 和 $\varnothing$ 做出类似定义。

可以定义多个集合的交/并，如$A_1 \cup A_2 \cup...\cup A_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i$。

同时，$\cup$ 和 $\cap$ ，满足分配律。比如说，$A\ \cup (B\cap C)=(A \cap B) \cup (B \cap C)$。

交满足结合律和交换律，并也满足结合律和交换律。

1.5 差，补与对称差

称集合 $C=\{x|x\in A\land x \not\in B\}$ 为 $A$ 和 $B$ 的差，记为 $A-B$ 或 $A \backslash B$，读作 $A$ 减/剔去 $B$。

比如说 $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,5\}$，$A-B=\{1,3\}$，$B-A=\{4,5\}$，发现 $-$ 是没有交换律的。

为了简化研究，我们通常把一个集合叫为全集，记为 $U$，所有集合都包含于 $U$。

称 $U-A$ 为 $A$ 的补集，记为 $\overline{A}$，显然 $\overline{\overline{A}}=A$。

对于集合 $A,B$，记 $A△ B=(A-B) \cup(B-A)$，读为 $A$ 与 $B$ 的对称差。这是满足交换律的。

比如说 $A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5\}$，有 $A△B=\{1,2,4,5\}$。

德·摩根律：$\overline{A \cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$，$\overline{A \cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$。

它可以拓展到 $n$ 元，$\overline{A_1\cap A_2 \cap...\cap A_n}=\overline{A_1}\cup\overline{A_2}\cup ...\cup \overline{A_n}$。

2. 逻辑初步

2.1 命题

不错，就是我们初中学过的命题，是用来判断真假的，一般具备如下性质：完整的句子、陈述句、可以判断真假（当然未来能判断也行）。

如果命题为真，值为 $1$，否则为 $0$。

如果一个命题不包含更小的子命题，则成为原子命题，通常用 $p,q,r$ 表示。

就比如说我们在做OI题的时候，一个题通常可以转化和简化到某个很显然的问题或者板子，这些板子就是原子命题，而需要简化的原问题就不是原子命题。

2.2 充分条件和必要条件

对于命题 $p,q$，如果“$p$ 为真，那么 $q$ 为真”为真的话，我们认为 $p$ 可以推出 $q$，记为 $p\Rightarrow p$ 或 $q\Leftarrow p$，称 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。

如果一个命题 $p$ 是 $q$ 的充分条件，也是 $q$ 的必要条件（就是两者可以互推），那么说明 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件，记为 $p \iff q$。

2.3 全称量词和存在性量词

对于一个集合 $S$ 和一个关于 $x$ 的命题 $p(x)$，命题“对于所有 $x \in S$，$p(x)$ 为真”可以记为 $∀ x \in S,p(x)$，$∀$ 称为全称量词，这个命题叫做全称量词命题。

比如说，对于全体实数的平方都大于 $0$ 可以记为 $∀ x \in \mathbb{R},x^2\ge 0$，命题显然为真。

全称量词的关键词包括但不限于：所有，任意，全部，都。（表示全部的都是。）

对于一个集合 $S$ 和一个关于 $x$ 的命题 $p(x)$，命题“存在一个 $x \in S$，$p(x)$ 为真”，可以记为 $∃x\in S,p(x)$，其中 $∃$ 称为存在性量词，这个命题叫做存在性量词命题。

比如，存在一个实数的平方等于 $0$，就记为 $∃ x\in \mathbb{R},x^2=0$，命题也为真，$x=0$ 时成立。

存在性量词的关键词包括但不限于：存在，有一个，至少一个。（表示合法解的数量大于 $1$ 就是）。

全称量词命题反面就是存在性量词命题，即 $¬(∀ x\in S,p(x))=∃ x\in S,¬p(x)$。

同理，存在性量词命题反面就是全称量词命题，即$¬(∃ x\in S,p(x))=∀x \in S,¬p(x)$。

比如说一个序列，找到一个等于 $x$ 的数的位置（存在性量词），反过来就是找到所有不是 $x$ 的数的位置（全称量词命题）。

其实也就是一种更为形式化的表达吧。

3. 一元二次方程

3.1 等式性质和不等式的性质

其实在解方程中一些很显然的性质，比如说同时减一个数，等式成立这样的性质，我们用严格的语言来刻画这些性质。

等式的性质：

• $a=a$。 （自反性）
• 若 $a=b$，$b=a$。（对称性）
• 若 $a=b$，$b=c$，那么 $a=c$。（传递性）
• 若 $a=b$，那么 $a+c=b+c$，$a-c=b-c$。
• 若 $a=b$，那么 $ac=bc$，注意反过来不成立。（$ac=bc$ 不能推出 $a=b$）。
• 如果 $a=b \land c\neq 0$，有 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}。$

在实数上也可以定义大小关系，若 $a-b>0$，那么 $a>b$。

可以从 $a>b$ 表示出其他不等式的关系，

• $a<b \iff b>a$
• $a \le b \iff ¬(a>b)$
• $a \ge b \iff b\le a$
• $a\neq b \iff a>b \lor a<b$

等式和不等式都用来刻画数的性质，是具有类似性质的。

不等式的性质：

• $a \le a$。 （自反性）
• 若 $a\le b$，$b\le a$，则 $a=b$（反对称性，感性看或者画数轴都可。）
• 若 $a\le b$，$b\le c$，则 $a\le c$。（传递性）
• $a <a$ 不成立。（反自反性）
• $a<b$，$a=b$，$a>b$，必然有一个会成立
• 若 $a<b$，则 $a+c<b+c$，$a-c<b-c$。
• 若 $a<b$，$c>0$，有 $ac<bc$，$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$。
• 若 $a<b$，$c<0$，有 $ac >bc$，$\frac{a}{c}> \frac{b}{c}$。

3.2 基本不等式

4.函数

4.1 函数

4.2 函数的性质

4.3 指对幂函数

4.4 三角函数

4.4.1 任意角和弧度制

我们规定，一条射线逆时针方向（这条射线一般我们认为他水平）旋转，得到的角叫正角，反之绕逆时针，那就是负角，如果没有选择，那就是零角。

旋转前的射线称为始边，旋转后的射线称为终边。

左图就是一个 $750\degree$ 角，右边是 $210 \degree,-150\degree,-660 \degree$ 的角。

尽管 $210 \degree,-150 \degree$ 的终边重合，但他们并不是同一个角。

如果是这样定义的话，角度就不局限在 $[0,360]$ 了，可以大力推广。

所有终边相同的角都差了整数个 $360 \degree$。这是显然的，因为这样两个角是重合的，只有一个角转了整数倍个 $360 \degree$ 才有机会再次重合。