关于坐标变换

****# 关于坐标变换

我们已经知道，一条圆锥曲线可以写成

\[A x ^ 2 + B y ^ 2 + C x y + D x + E y + F = 0 \]

或者花哨一点

\[F = { \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} } ^ T \begin{bmatrix} A & \frac{ C }{ 2 } & \frac{ D }{ 2 } \\ \frac{ C }{ 2 } & B & \frac{ E }{ 2 } \\ \frac{ D }{ 2 } & \frac{ E }{ 2 } & F \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0 \]

简记为

\[F = r ^ T \eta \mspace{ 2mu } r \]

在标况下（bushi），有

\[F = { \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} } ^ T \begin{bmatrix} A _ 0 & 0 & 0 \\ 0 & B _ 0 & 0 \\ 0 & 0 & F _ 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0 \]

\[\Rightarrow F = r ^ T \eta _ 0 r \]

这仅仅是对于双曲线和椭圆，抛物线比较特殊。
又知道，平移坐标变换

\[\begin{bmatrix} x ^ \prime \\ y ^ \prime \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \delta _ x \\ 0 & 1 & \delta _ y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

旋转坐标变换

\[\begin{bmatrix} x ^ \prime \\ y ^ \prime \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

故而在平面直角坐标系，任意一种坐标变换可以写成

\[\Lambda = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta & \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

对一个正椭圆/抛物线，进行一次变换，有

\[F = r _ 0 ^ T \eta _ 0 r _ 0 = ( \Lambda r ) ^ T \eta _ 0 ( \Lambda r ) = r ^ T ( \Lambda ^ T \eta _ 0 \Lambda ) r \]

\[\Rightarrow \eta = \Lambda ^ T \eta _ 0 \Lambda \]

展开写就是

\[\begin{bmatrix} A & \frac{ C }{ 2 } & \frac{ D }{ 2 } \\ \frac{ C }{ 2 } & B & \frac{ E }{ 2 } \\ \frac{ D }{ 2 } & \frac{ E }{ 2 } & F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A _ 0 \cos ^ 2 \theta + B _ 0 \sin ^ 2 \theta & ( B _ 0 - A _ 0 ) \sin \theta \cos \theta & A _ 0 \cos \theta ( \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta ) + B _ 0 \sin \theta ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) \\ ( B _ 0 - A _ 0 ) \sin \theta \cos \theta & A _ 0 \sin ^ 2 \theta + B _ 0 \cos ^ 2 \theta & - A _ 0 \sin \theta ( \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta ) + B _ 0 \cos \theta ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) \\ A _ 0 \cos \theta ( \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta ) + B _ 0 \sin \theta ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) & - A _ 0 \sin \theta ( \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta ) + B _ 0 \cos \theta ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) & A _ 0 ( \delta _ x \cos \theta - \delta y \sin \theta ) ^ 2 + B _ 0 ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) ^ 2 + F _ 0 \end{bmatrix} \]

真是十分的美观啊。
写成方程组的形式

\[A = A _ 0 \cos ^ 2 \theta + B _ 0 \sin ^ 2 \theta \]

\[B = A _ 0 \sin ^ 2 \theta + B _ 0 \cos ^ 2 \theta \]

\[\frac{ C }{ 2 } = ( B _ 0 - A _ 0) \sin \theta \cos \theta \]

\[\frac{ D }{ 2 } = A _ 0 \cos \theta ( \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta ) + B _ 0 \sin \theta ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) \]

\[\frac{ E }{ 2 } = - A _ 0 \sin \theta ( \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta ) + B _ 0 \cos \theta ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) \]

\[F = A _ 0 ( \delta _ x \cos \theta - \delta y \sin \theta ) ^ 2 + B _ 0 ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) ^ 2 + F _ 0 \]

采用zzx法解这个方程（找zzx解这个方程的办法）

\[\tan 2 \theta = \frac{ C }{ B - A } \]

\[\Rightarrow \tan \theta = \sqrt{ \frac{ \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } - ( B - A ) }{ \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } + ( B - A ) } } \]

\[\Rightarrow \sin \theta = \sqrt{ \frac{ \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ { \ 2 } } - ( B - A ) }{ 2 \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } } } \]

\[\cos \theta = \sqrt{ \frac{ \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } + ( B - A ) }{ 2 \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } } } \]

\[A _ 0 = \frac{ A _ 0 \cos ^ 2 \theta - B _ 0 \sin ^ 2 \theta }{ \cos 2 \theta } = \frac{ 1 }{ 2 } \left [ ( A + B ) - \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } \mspace{ 2mu } \right ] \]

\[B _ 0 = \frac{ B _ 0 \cos ^ 2 \theta - A _ 0 \sin ^ 2 \theta }{ \cos 2 \theta } = \frac{ 1 }{ 2 } \left [ ( A + B ) + \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } \mspace{ 2mu } \right ] \]

\[\delta _ x = \frac{ ( D \cos \theta - E \sin \theta ) \cos \theta }{ 2 A _ 0 } + \frac{ ( D \sin \theta + E \cos \theta ) \sin \theta }{ 2 B _ 0 } = \frac{ 2 B D + C E }{ 4 A B - C ^ 2 } \]

\[\delta _ y = \frac{ ( D \cos \theta - E \sin \theta ) \sin \theta }{ - 2 A _ 0 } + \frac{ ( D \sin \theta + E \cos \theta ) \sin \theta }{ 2 B _ 0 } = \frac{ 2 B E + C D }{ 4 A B - C ^ 2 } \]

\[F _ 0 = F - A _ 0 ( \delta _ x \cos \theta - \delta _ y \sin \theta ) ^ 2 - B _ 0 ( \delta _ x \sin \theta + \delta _ y \cos \theta ) ^ 2 \]

\[= F - \frac{ 1 }{ 2 } \left [ ( A + B ) ( \delta _ x ^ 2 + \delta _ y ^ 2 ) + \sqrt{ ( B - A ) ^ 2 + C ^ 2 } 4 \delta _ x \delta _ y \sin \theta \cos \theta \right ] \]

\[= F - \frac{ ( A + B ) [ ( 2 B D + C E ) ^ 2 + ( 2 B E + C D ) ^ 2 ] + 4 C ( 2 B D + C E )( 2 B E + C D ) }{ 2 ( 4 A B - C ^ 2 ) ^ 2 } \]

而今便可谓是大功告成
为了检验公式的正确性，带入一个斜椭圆的方程

\[\frac{ x ^ 2 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ y ^ 2 }{ A _ y ^ 2 } - 2 \frac{ x y }{ A _ x A _ y } \cos \phi = \sin ^ 2 \phi \]

有

\[A = \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } , B = \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } , C = \frac{ 2 \cos \phi }{ A _ x A _ y } , D = 0 , E = 0 , F = - \sin ^ 2 \phi \]

带入得

\[A _ 0 = \frac{ 1 }{ 2 } \left [ \left ( \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } \right ) - \sqrt{ \left ( \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } - \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } \right ) ^ 2 + \frac{ 4 \cos ^ 2 \phi }{ A _ x ^ 2 A _ y ^ 2 } } \mspace{ 2mu } \right ] \]

\[B _ 0 = \frac{ 1 }{ 2 } \left [ \left ( \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } \right ) + \sqrt{ \left ( \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } - \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } \right ) ^ 2 + \frac{ 4 \cos ^ 2 \phi }{ A _ x ^ 2 A _ y ^ 2 } } \mspace{ 2mu }\right ] \]

\[F _ 0 = - \sin ^ 2 \phi \]

将 $ A _ 0 x ^ 2 + B _ 0 y ^ 2 + F _ 0 = 0$化成一个我们更熟悉的形式

\[\frac{ 1 }{ 2 \sin ^ 2 \phi } \left [ \left ( \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } \right ) - \sqrt{ \left ( \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } - \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } \right ) ^ 2 + \frac{ 4 \cos ^ 2 \phi }{ A _ x ^ 2 A _ y ^ 2 } } \mspace{ 2mu } \right ] x ^ 2 + \frac{ 1 }{ 2 \sin ^ 2 \phi } \left [ \left ( \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } \right ) + \sqrt{ \left ( \frac{ 1 }{ A _ y ^ 2 } - \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } \right ) ^ 2 + \frac{ 4 \cos ^ 2 \phi }{ A _ x ^ 2 A _ y ^ 2 } } \mspace{ 2mu } \right ] y ^ 2 = 1 \]

首先这的确是个椭圆此乃一胜，再然后又另一个角度去求原椭圆的极值

\[G = x ^ 2 + y ^ 2 + \lambda \left ( \frac{ x ^ 2 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ y ^ 2 }{ A _ y ^ 2 } - 2 \frac{ x y }{ A _ x A _ y } \cos \phi - \sin ^ 2 \phi \right ) \]

\[\left \{ \begin{array}{rl} \dfrac{ \partial G }{ \partial x } & = 2 x + \lambda \left ( \frac{ 2 x }{ A _ x ^ 2 } - \frac{ 2 y }{ A _ x A _ y } \cos \phi \right ) = 0 \\ \dfrac{ \partial G }{ \partial y } & = 2 y + \lambda \left ( \frac{ 2 y }{ A _ y ^ 2 } -\frac{ 2 x }{ A _ x A _ y } \cos \phi \right ) = 0 \\ \dfrac{ \partial G }{ \partial \lambda } & = \frac{ x ^ 2 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ y ^ 2 }{ A _ y ^ 2 } - 2 \frac{ x y }{ A _ x A _ y } \cos \phi - \sin ^ 2 \phi = 0 \end{array} \right. \]

解得

\[\Longrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} \lambda & = & \frac{ - ( A _ x ^ 2 + A _ y ^ 2 ) \pm \sqrt{ ( A _ x ^ 2 + A _ y ^ 2 ) ^ 2 - 4 A _ x ^ 2 A _ y ^ 2 \sin ^ 2 \phi } }{ 2 \sin ^ 2 \phi } \\ x & = & \frac{ \sin \phi }{ \sqrt{ \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ k ^ 2 }{ A _ y ^ 2 } - \frac{ 2 k \cos \phi }{ A _ x A _ y } } } \\ y & = & \frac{ k \sin \phi }{ \sqrt{ \frac{ 1 }{ A _ x ^ 2 } + \frac{ k ^ 2 }{ A _ y ^ 2 } - \frac{ 2 k \cos \phi }{ A _ x A _ y } } } \end{array} \right. \]

其中

\[k = \sqrt{ \frac{ \frac{ \lambda }{ A _ y ^ 2 } + 1 }{ \frac{ \lambda }{ A _ x ^ 2 } + 1 } } \]

来看看解得的长短轴自洽不自洽
引入$ \gamma = \frac{ A _ y }{ A _ x} $，有

\[k = \sqrt{ \frac{ - ( \gamma ^ { - 2 } + 1 ) \pm \sqrt{ ( \gamma ^ { - 2 } + 1 ) ^ 2 - 4 \gamma ^ { - 2 } \sin ^ 2\phi }+ 2 \sin ^ 2 \phi }{ - ( \gamma ^ 2 + 1 ) \pm \sqrt{ ( \gamma ^ 2 + 1 ) ^ 2 - 4 \gamma ^ 2 \sin ^ 2 \phi } + 2 \sin ^ 2 \phi } } \]

\[= \frac{ 1 }{ \gamma } \sqrt{ \frac{ - ( \gamma ^ 2 + 1 ) \pm \sqrt{ ( \gamma ^ 2 + 1 ) ^ 2 - 4 \gamma ^ 2 \sin ^ 2 \phi } + 2 \gamma ^ 2 \sin ^ 2 \phi }{ - ( \gamma ^ 2 + 1 ) \pm \sqrt{ ( \gamma ^ 2 + 1 ) ^ 2 - 4 \gamma ^ 2 \sin ^ 2 \phi } + 2 \sin ^ 2 \phi } } = \frac{ \xi }{ \gamma } \]

\[x = \frac{ A _ x \sin \phi }{ \sqrt{ 1 + \frac{ \xi ^ 2 }{ \gamma ^ 4 } - \frac{ 2 \xi \cos \phi }{ \gamma ^ 2 } } } \]

\[y = \frac{ \xi }{ \gamma } \cdot \frac{ A _ x \sin \phi }{ \sqrt{ 1 + \frac{ \xi ^ 2 }{ \gamma ^ 4 } - \frac{ 2 \xi \cos \phi }{ \gamma ^ 2 } } } \]

\[r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 = \frac{ A _ x ^ 2 \sin ^ 2 \phi }{ 1 + \frac{ \xi ^ 2 }{ \gamma ^ 4 } - \frac{ 2 \xi \cos \phi }{ \gamma ^ 2 } } \cdot \left ( 1 +\frac{ \xi ^ 2 }{ \gamma ^ 2 } \right ) \]

不难发现两解分别对应 $ A _ 0 、B _ 0 $
故而该公式的正确性得证。
这不比什么齐次化好用多了