NTT 入门
牢记目标：对于一个给定的 \(m-1\) 次的多项式（\(m=2^n\)），我们要求出 \(m\) 个点 \(\omega_{m}^{k}\) 代进去的点值，有了点值我们可以进行多项式乘法等内容。
把多项式奇偶分类，\(F(x)=F_0(x^2)+xF_1(x^2)\)。
由于我们递归下去要规模减半，考虑对点值分成两半，显然 \(\omega_{m}^{k+(m/2)}=-\omega_{m}^k\)，所以偶次多项式的后一半点值等价于前一半点值，奇次多项式的后一半点值是前一半点值取反。
把点值还原成多项式（\(\rm IDFT\)）时，结论是指数上多一个负号，得到的结果应除以长度。
考虑构造一个多项式 \(G(x)=\sum_{i=0}^{m-1}F(\omega_{m}^i)x^i\)，然后对其推式子。
这里实质是一个单位根反演，我们发现 \(j=k\) 时每个 \(i\) 的贡献均为 \(1\)，\(j\ne k\) 时所有 \(i\) 的贡献和为 \(0\)，所以 \(G(\omega^{-k})=ma_k\)，所以求解 \(\rm IDFT\) 时只需把 \(\omega\) 换成 \(\omega^{-1}\) 并在最后除掉总长度即可。
值得注意的是，如果我们并不把指数取反，而是代入原来的指数，那根据单位根的性质，其实我们相当于倒着代入了负指数，所以最后加一个 reverse 即可。
注意是从 \(1\) 开始的 \(\rm reverse\)，因为 \(\omega^0=\omega^{-0}\)。
单位根换成原根后我们可以得到一个递归写法：
const int g=3,p=998244353;
ll ksm(ll a,ll n=p-2,ll res=1) {
for(;n;n>>=1,a=a*a%p) if(n&1) res=res*a%p;
return res;
}
void NTT(ll w,vec<ll> &a) {
if(sz(a)==1) return;
int n=sz(a);
vec<ll> b[2]{vec<ll>(n/2),vec<ll>(n/2)};
F(i,0,n-1) b[i&1][i>>1]=a[i];
NTT(w*w%p,b[0]);NTT(w*w%p,b[1]);
ll r=1;
F(i,0,n/2-1) {
a[i]=(b[0][i]+r*b[1][i])%p;
a[i+(n/2)]=(b[0][i]+(p-r)*b[1][i])%p;
(r*=w)%=p;
}
}
void DFT(vec<ll> &a) {NTT(ksm(g,(p-1)/sz(a)),a);}
void IDFT(vec<ll> &a) {
NTT(ksm(ksm(g,(p-1)/sz(a))),a);
ll iv=ksm(sz(a));
for(ll &x:a) (x*=iv)%=p;
}
为了减小常数，我们通常要将分治的过程循环化，我们发现我们先从上往下进行了奇偶分类，再自底向上合并。
如果我们要用循环代替递归，此时我们如何处理“奇偶分类”？
我们发现，奇偶分类恰恰是把最低位提到了最高位，所有奇偶分类都做完之后相当于二进制 \(\rm reverse\)。
这个过程叫蝴蝶变换，我们可以用 \(\frac i 2\) 的 \(\rm reverse\) 推出 \(i\) 的 \(\rm reverse\)，由此我们可以求出蝴蝶变换的位置：
F(i,0,(1<<n)-1) r[i]=r[i>>1]>>1|((i&1)<<n-1);
处理完奇偶分类后，我们就从底向上进行合并过程，这部分就直接抄过来即可。
void NTT(vec<ll> &a,bool type) {
int n=sz(a),l=__lg(n);
vec<int> r(n);
F(i,0,n-1) r[i]=r[i>>1]>>1|(i&1)<<l-1;
F(i,0,n-1) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for(int m=1;m<n;m*=2) {
ll w=ksm(type?g:ksm(g),(p-1)/(m*2));
for(int j=0;j<n;j+=m*2) {
ll r=1;
F(i,j,j+m-1) {
ll x=a[i],y=r*a[i+m]%p;
a[i]=(x+y)%p;a[i+m]=(x+p-y)%p;
(r*=w)%=p;
}
}
}
if(!type) {
ll iv=ksm(n);
F(i,0,n-1) (a[i]*=iv)%=p;
}
}
void DFT(vec<ll> &a) {NTT(a,1);}
void IDFT(vec<ll> &a) {NTT(a,0);}
这是一份符合大多数人刻板印象的 NTT 模板。
DIT 与 DIF
上文所述的 \(\rm DFT\) 方式属于 \(\rm DIT\)，按时域抽取，这里的按时域抽取指的是把多项式系数进行奇偶分类。
事实上，我们存在另一种 \(\rm DFT\) 方式：\(\rm DIF\)，按频域抽取，指的是把代入的点进行奇偶分类。
考虑 \(\omega\) 的奇偶性，也就是把多项式按照前后劈开：
当 \(2\mid k\) 时：
\(2\nmid k\) 时略有不同：
想象它的递归写法，我们在向下递归时进行值的变换（实质是乘上范德蒙德矩阵），在回溯时进行蝴蝶变换，刚好与 \(\rm DIT\) 的过程是相反的。
那么，只要我们在 \(\rm DFT\) 时使用 \(\rm DIF\)，\(\rm IDFT\) 时使用 \(\rm DIT\)，就可以免去蝴蝶变换了。
void DIF(vec<ll> &a) {
int n=sz(a);
for(int m=n/2;m;m/=2) {
ll w=ksm(g,(p-1)/(m*2));
for(int j=0;j<n;j+=m*2) {
ll r=1;
F(i,j,j+m-1) {
ll x=a[i],y=a[i+m];
a[i]=(x+y)%p;a[i+m]=(x+p-y)*r%p;
(r*=w)%=p;
}
}
}
}
void DIT(vec<ll> &a) {
int n=sz(a);
for(int m=1;m<n;m*=2) {
ll w=ksm(ksm(g),(p-1)/(m*2));
for(int j=0;j<n;j+=m*2) {
ll r=1;
F(i,j,j+m-1) {
ll x=a[i],y=r*a[i+m]%p;
a[i]=(x+y)%p;a[i+m]=(x+p-y)%p;
(r*=w)%=p;
}
}
}
ll iv=ksm(n);
F(i,0,n-1) (a[i]*=iv)%=p;
}
看上去代码长，实际上二者逻辑相似，复制粘贴就很容易敲出。
比较简单的卡常方法：预处理单位根幂次，提交记录。
虽然经过仔细卡常，\(10^6\) 规模的数据还可以把速度提升至原来的 两倍，但具体内容已脱离有趣的理论范畴，且实战中并无用处，所以舍弃。
MTT
也就是任意模数 \(\rm NTT\)。
给一个使用 \(5\) 次 \(\rm FFT\) 的做法，较为舒服。
首先我们把系数变小，\(F(x)=A(x)+cB(x),G(x)=C(x)+cD(x)\)，其中 \(c=\sqrt V\)，取 \(2^{15}\) 即可。
然后多项式相乘展开，相当于我们要求 \(A(x)C(x),A(x)D(x),B(x)C(x),B(x)D(x)\)，构造 \(T(x)=C(x)+iD(x)\)，则我们能在 \(A(x)T(x)\) 与 \(B(x)T(x)\) 中找到所需的项。
只需三次 \(\rm DFT\)，两次 \(\rm IDFT\) 即可。
由于我们要做很多次 \(\rm FFT\)，所以预处理单位根就能很大程度上提高效率。
三次变两次优化
也就是只需要一遍 \(\rm DFT\) 一遍 \(\rm IDFT\) 求出 \(f*g\)，它利用了 \((f+gi)^2=f^2-g^2+2fgi\)，所以我们只需对 \((f+gi)\) 进行 \(\rm DFT\) 即可。这玩意跑的比 \(\rm NTT\) 快。
但是能 \(\rm FFT\) 还无需 \(\rm MTT\) 的场合太少了。
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