威尔逊定理小讲解

考虑作者太懒了，博客里面的同余符号都用等号代替 qwq

威尔逊定理

威尔逊定理大概是这么个东西：

\[(p-1)!=-1(mod ~~ p) \]

其中 p 当然是质数辣~

Proof

然后我们考虑证明？

首先：

\[p-1=-1(mod ~~ p) \]

那么我们只需要证明 \((p-2)!=1 (mod~~ p)\) 就好了...

也就是说，除去 1 后，如果 \(2,3,...,p-2\) 能够两两配对，且每对数乘积 模 p 后为 1 的话，威尔逊定理就成立了，然后我们考虑这其实就是对于 \(2,3,...,p-2\) 去找 模 p 意义下的逆元啊...

然后考虑一下二次剩余里面的衍生芝士我们可以知道对于 \(x^2=1\) 只有两个解（1，p-1），而这两个数已经被我们安排掉了，也就是说 \(2,3,...,p-2\) 中不存在某个数的逆元是自己本身...

然后我们还知道逆元有唯一性与互反性，于是乎这些数自然是一一对应的辣~

证毕！

Application

这个...显然可以用在阶乘求解上？

但是用途不广...可能可以用来优化快速阶乘？ XD

我们考虑这个式子已经成立了：

\[(p-1)!=-1(mod ~~ p) \]

那么我们现在要求的是：

\[n!~(mod ~~ p) \]

然后我们考虑威尔逊定理能怎么用进去...

（现在我们不考虑 \(n=p-1\) 或 \(p-2\) 的极端情况，\(n=p-1\) 时答案为 \(p-1\) ，\(n=p-2\) 时 答案为 \(1\) ，可特判）

首先：

\[n! ·\Big( (n+1)(n+2)...(p-1)\Big) =-1(mod~~ p) \]

我们令 \(p-n =x\) ：

\[n! ·\Big( (p-x+1)(p-x+2)...(p-1)\Big) =p-1(mod~~ p) \]

那么：

\[\begin{aligned}( n!)'=&(p-x+1)(p-x+2)...(p-2)\\=&(-1)^{x-2}(x-1)(x-2)...(2)\\=&(-1)^x (x-1)!\\=& (-1)^{p-n}(p-1-n)! \\=& (-1)^{n+1}(p-1-n)! \end{aligned} \]

上面 \(p-x+1\) 变到 \(x-1\) 其实就是把负号提出来了...

然后我们发现只要求出 \((p-1-n)!\) 然后乘上 \((-1)^n\)

这样的优化...可能没什么用？但是也是优化就是了...