CF623B Array GCD

CF623B Array GCD

给定一个序列 \(a_i\) ，可以进行一下两种操作：

• 删除一段长度为 \(m\) 的区间 \((m<n)\) ，花费为 \(m\times A\) ，只能操作一次
• 可以花费 \(b\) 让一个元素 \(+1\) 或 \(-1\) ，每个元素只能操作一次

求使得剩下的数最大公约数大于 \(1\) 的最小花费

\(n\leq10^6,\ a_{i}\in[2,\ 10^9]\)

贪心，动态规划

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由于删除的区间长度小于 \(n\) ，则最优解剩下的序列一定包含 \(a_1\) 和 \(a_n\) ，则最后的 \(\gcd\) 一定是 \(a_1,\ a_1+1,\ a_1-1, \ a_n,\ a_n+1,\ a_n-1\) 其中之一的约数

由于每个数的不同质因子个数是 \(\log\) 级别的，可以考虑枚举这 \(6\) 个数各自的质因子当作最大公约数

当确定了 \(\gcd\) ，考虑如何求出最小花费

可以设计一个 dp，令 \(f_{i,\ 0/1/2}\) 为截至第 \(i\) 位，没有删除过区间 / 正在删除一段区间 / 已经删除了一段区间 所能得到的最小花费

可以列出方程 \(\begin{cases}f_{i,\ 0}=f_{i-1,\ 0}+cost_i\\f_{i,\ 1}=\min(f_{i-1,\ 0},\ f_{i-1,\ 1})+A\\f_{i,\ 2}=\min(f_{i-1,\ 1},\ f_{i-1,\ 2})+cost_i\end{cases}\)

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
ll f[3][maxn];
int n, A, B, a[maxn];

inline ll calc(int x, int P) {
  if (x % P == 0) return 0;
  if ((x + 1) % P == 0 || (x - 1) % P == 0) {
    return B;
  }
  return 1ll << 40;
}

inline ll check(int P) {
  bool flg = 1;
  f[1][0] = f[2][0] = 1ll << 40;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    ll v = calc(a[i], P);
    f[0][i] = f[0][i - 1] + v;
    f[1][i] = min(f[0][i - 1], f[1][i - 1]) + A;
    f[2][i] = min(f[1][i - 1], f[2][i - 1]) + v;
    flg &= i == 1 || f[0][i - 1] > f[1][i - 1];
  }
  return min(f[0][n], min(flg ? 1ll << 60: f[1][n], f[2][n]));
}

inline ll factor(int x) {
  int tmp = sqrt(x);
  ll res = 1ll << 60;
  for (int i = 2; i <= tmp; i++) {
    if (x % i == 0) {
      res = min(res, check(i));
      while (x % i == 0) x /= i;
    }
  }
  if (x > 1) res = min(res, check(x));
  return res;
}

int main() {
  scanf("%d %d %d", &n, &A, &B);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", a + i);
  }
  if (n == 1) return puts("0");
  int s[7];
  s[1] = a[1];
  s[2] = a[1] - 1;
  s[3] = a[1] + 1;
  s[4] = a[n];
  s[5] = a[n] - 1;
  s[6] = a[n] + 1;
  ll ans = 1ll << 60;
  for (int i = 1; i < 7; i++) {
    ans = min(ans, factor(s[i]));
  }
  printf("%I64d", ans);
  return 0;
}