一文可能看懂扫描线
扫描线入门
本文的文字部分有些冗长，有些地方讲的也有些枯燥，但是笔者已经尽量让文字不那么晦涩，也加了一些配图，相信坚持看完的读者会有所收获
本文参考：https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/52048323
矩形面积并
对于矩形\(A,B\)，它们的面积并就是\(A \cup B\)的面积，多个矩形的情况可以类比一下。怎么求面积并呢？有一种想法是拿所有矩形面积之和减去多加了的部分的面积，但是多加的部分并不好求，因为要计算交点，还要知道重复部分到底重复了多少次；我们可以假想有一条与\(x\)轴平行的直线，从下往上扫，把面积并分割成多个部分，如下图所示，这样以来面积并就等于各个颜色的部分的面积之和，每个部分的高很容易求，只要把每个矩形的每个横向边(与\(x\)轴平行的边)的高度记录一下，排个序，做差就可以，关键在于怎么求每个部分的长度，这时，线段树又出场了(不知道线段树的话，这里是传送门)
图片地址：https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/52048323
区间信息
既然要用线段树，那线段树存什么？或者说要维护区间信息是什么？我们对横坐标区间建线段树，根节点的区间是\([x_{min}, x_{max}]\)(\(x\)是\(double\)咋整？可以离散化，下面会讲)，即最左端的横坐标到最右端的横坐标，区间信息就是区间内有效的横向长度，这样每次拿高乘×根节点存的有效横向长度就能算出每个部分的面积，再累加就是答案了；那么要怎么维护区间信息呢？我们给每个区间维护一个\(cnt\)，即目前该区间被横边覆盖的次数，怎么看这个目前呢？如果插入的是矩形下边界的横边，那被覆盖次数加一；相反，如果是上边界被覆盖次数减一。这样如果一个区间的\(cnt > 0\)，说明该区间已经被完全覆盖了，那有效长度就等于区间长度；否则，如果\(cnt == 0\)(\(cnt\)不会小于0，除非你把下边界标记成上边界，上边界标记成下边界)，那该区间的有效长度就是它的左儿子的有效长度加右儿子的(如果是叶子节点有效长度就是0)，咱用下面的图模拟一下：
在这之前咱先讲讲，用到的结构体和数组定义，这样方便下文讨论。我们定义一个结构体\(Seg\)来表示矩形的上下边界(即横向边)以及结构体\(Node\)来表示线段树的各个节点；定义\(double\)数组\(corx\)存横坐标
const int N = 205; // 点数，即横向边的数量的两倍
struct Seg {
double l, r, h; // 左端点右端点和高度
int d; // 下边界的d==1，上边界的d==-1，你品，你细品
Seg() {}
Seg(double l, double r, double h, int d) : l(l), r(r), h(h), d(d) {}
inline bool operator < (const Seg& a) { // 用于将上下边界根据高度排序
return h < a.h;
}
} seg[N];
struct Node {
int l, r, cnt; // l和r要用到离散化技巧，之后会讲，cnt区间就是被覆盖次数
double sum; // 有效长度
} node[N << 2];
double corx[N];
(事先\(seg\)数组已经根据\(h\)排序)首先，对区间\([x_1, x_4]\)建线段树(这里的\(x\)坐标没排序)，扫描线从\(h1\)开始，遇到第一个下边界\(x3x4\)，并将它插入到线段树中，这时第一部分(下图灰色部分)的面积就等于\(node[1].sum*(seg[2].h - seg[1].h)\)；而后，扫描线到达\(h2\)，插入\(x1x2\)，蓝色部分面积等于\(node[1].sum * (seg[3].h - seg[2].h)\)，\(h3\)类似，到\(h4\)时，因为它是上边界，它会将\([x3,x4]\)部分的\(cnt\)值减1，然后计算红色部分面积，然后一步步算出总面积
离散化
为啥要离散？
有两点原因：
- 有些题目给的坐标范围可能很大，比如\(1e9\)，开数组必爆无疑
- 坐标可能还是\(double\)，这样线段树不太好建立，想象一下区间端点是\(double\)型的线段树的叶子是个啥
(反正以笔者的水平是捣鼓不出来的)
怎么离散
我们可以不拿横坐标的值来当区间，而拿横坐标是从左往右的第几个来当区间，看图
这样线段树的根节点的区间就缩小到\([1,N]\)了，可以存得下了，下面问题又来了，插入时怎么插？之前区间端点直接插入就得了，现在离散了咋整？因为我们已经对横坐标们排序，那我们用每条\(seg\)的左右端点的值通过\(lowerbound\)就能找到其在\(corx\)中对应的下标，这下就能快速插入了
亿点细节
心急的同学可能早就去看板子了(因为大家都会了)，然而可能会有一些看不懂的奇怪细节：
- 上文说道如果一个区间的\(cnt>0\)，那该区间的有效长度就是区间长度，但是现在离散化了，不能直接区间长度了，应该是坐标值之差
- 为啥板子71行\(x\)不减1，\(y\)减1？为啥\(update\)里\(node[k].r\)要加1，而\(node[k].l\)不加1？显然这两者是互相对应的，以下是笔者自己的见解，可能有错误，仅供参考：我们可以考虑一下，线段树的叶子节点，比如\(node[k].l == node[k].r == 1\)时，它的区间信息\(sum\)到底代表着什么，它应该代表的是从1开始，长度为1单位长度的区间内被覆盖的情况，那么从叶子节点向上，\(node[k']\)的区间信息\(sum\)代表的是从端点\(l\)开始，到端点\(r\)后，再往右1单位长度的这样区间的有效长度，所以\(y\)要减1，不然插入的区间就变成了\([x, y + 1]\)了；而\(update\)函数中的\(node[k].r + 1\)也解释得清楚了，但是读者们又要问了：那\(update\)里的\(else \ if\)那一行不应该是\(node[k].sum = 1\)吗？毕竟叶子节点代表的区间长度是1啊！叶子节点的区间长度确实是1，但是我们看上一句\(if\)的条件，只有在\(cnt == 0\)时，才有可能执行\(else \ if\)的语句，也就是说这时该区间的被覆盖次数为0，自然\(sum=0\)而不是\(1\)，初始化的时候也一样，区间被覆盖次数为\(0\)，自然\(sum = 0\)
void update(int k) {
if(node[k].cnt) node[k].sum = corx[node[k].r + 1] - corx[node[k].l]; // 区间被完全覆盖
else if(node[k].l == node[k].r) node[k].sum = 0; // 叶子
else node[k].sum = node[ls].sum + node[rs].sum;
}
71行：x = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].l) - corx;
y = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].r) - corx - 1;
照笔者这么说的话，线段树区间\([1, N-1]\)就够了，在HDU上确实也\(AC\)了(只测了下面的板子题)，然而并不能说笔者的说法是正确的，所以还是建\([1, N]\)的树吧，毕竟仅仅测试了无数测试数据中的寥寥几组，仅作为一个参考
板子
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ls (k << 1)
#define rs (ls | 1)
const int N = 205;
struct Seg {
double l, r, h;
int d;
Seg() {}
Seg(double l, double r, double h, int d) : l(l), r(r), h(h), d(d) {}
bool operator < (const Seg &a) const {
return h < a.h;
}
}seg[N];
struct Node {
int l, r, cnt;
double sum;
}node[N << 2];
int n, x, y, d;
double corx[N];
void build(int l, int r, int k) {
node[k].l = l; node[k].r = r; node[k].cnt = node[k].sum = 0;
if(l == r) return ;
int mid = (l + r) >> 1;
build(l, mid, ls);
build(mid + 1, r, rs);
}
void update(int k) {
if(node[k].cnt) node[k].sum = corx[node[k].r + 1] - corx[node[k].l]; // 区间被完全覆盖
else if(node[k].l == node[k].r) node[k].sum = 0; // 叶子
else node[k].sum = node[ls].sum + node[rs].sum;
}
void work(int k) {
if(node[k].l >= x && node[k].r <= y) {
node[k].cnt += d;
update(k);
return ;
}
int mid = (node[k].l + node[k].r) >> 1;
if(x <= mid) work(ls);
if(y > mid) work(rs);
update(k);
}
int main() {
int kase = 0;
while(~scanf("%d", &n)) {
if(!n) break;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
double x1, x2, y1, y2;
scanf("%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2);
corx[i] = x1; corx[n + i] = x2;
seg[i] = Seg(x1, x2, y1, 1);
seg[i + n] = Seg(x1, x2, y2, -1);
}
n <<= 1;
std::sort(corx + 1, corx + n + 1);
std::sort(seg + 1, seg + n + 1);
int sz = std::unique(corx + 1, corx + n + 1) - corx - 1; // 去重
double ans = 0;
build(1, sz, 1);
for(int i = 1; i < n; i++) {
x = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].l) - corx;
y = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].r) - corx - 1;
d = seg[i].d;
work(1);
ans += (seg[i + 1].h - seg[i].h) * node[1].sum;
}
printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2f\n\n", ++kase, ans);
}
return 0;
}
例题
-
这题是求矩形并后的图形的周长，也是扫描线，之后专门再发一篇讲怎么算周长吧
暂时还没做多少例题(就是没做，之后再补点题，咕咕)
