Secure Outsourced Matrix Computation

二.准备工作

同态加密

密文包装技术

线性变换

例如

三.基于同态加密的安全矩阵乘法

矩阵乘法的置换

$\sigma$ 矩阵的行向左旋转
$\tau$ 矩阵的列向上旋转
$\phi$ 矩阵的整列向左旋转
$\psi$ 矩阵的整行向上旋转

矩阵编码方法

把矩阵转换为一个向量序列

a和A是同构的，故对二者的操作是等价的

3.3压缩密文上的矩阵乘法

调整排列

表示 $\sigma$ $\tau$ $\phi$ $\psi$ 的矩阵

同态矩阵乘法

改进

主要对旋转次数进行了改进


其中 ai,j

是重复的

四.同态矩阵计算的高级运算

压缩密文上的矩阵转置

矩形矩阵乘法

矩形矩阵乘法的改进

A是l*d的，并且d|l

这个公式表达的是对B分块分别和A计算，然后再把计算的结果合并起来


转换成了方阵的乘法

同态矩形矩阵乘法

在累加过程中，使用到了归并来优化。
从d/l到log(d/l)

并行矩阵计算

HEMAt/HEMatrix.cpp/HEmatmul_Parallel

void HEmatrix::HEmatmul_Parallel(Ciphertext& res, Ciphertext& Actxt, Ciphertext& Bctxt, ZZX**& Initpoly, ZZX*& shiftpoly){
    Ciphertext* Actxts = new Ciphertext[HEmatpar.dim];
    Ciphertext* Bctxts = new Ciphertext[HEmatpar.dim];
    
    //! 1. Generate the initial ciphertexts
    genInitCtxt_Parallel(Actxts[0], Bctxts[0], Actxt, Bctxt, Initpoly);

    //! 2. Column shifting of Actxt[0], Row shifting of Bctxt[0]
    long unit = HEmatpar.dim  * HEmatpar.nbatching;
    NTL_EXEC_RANGE(HEmatpar.dim1, first, last);
    for(int i = first; i < last; ++i){
        long i1 = (i + 1);
        shiftBycols_Parallel(Actxts[i1], Actxts[0], i1, shiftpoly);
        Bctxts[i1] = scheme.leftRotate(Bctxts[0], unit * (i1));
    }
    NTL_EXEC_RANGE_END;
    
    //! 3. Hadamard mult : Actxts[0] * Bctxts[0] + ... + Actxts[d-1] * Bctxts[d-1]
    HEmatmul_Hadamard(res, Actxts, Bctxts, HEmatpar.dim);

    delete[] Actxts;
    delete[] Bctxts;
}

五.同态矩阵运算的实现

参数设置

矩阵运算的性能