QOJ120 Airline Route Map 题解

这是一道通信题。
系统给 A 发送一张无向图，保证无重边和自环，点数 \(n\le1000\)，边数 \(m\le n(n-1)/2\)。
A 需要返回一张新的无向图，需要保证无重边和自环，且新图的点数 \(N\le n+12\)。
系统随机打乱新图的点和边（但没有提到会把 \((u,v)\) 打乱成 \((v,u)\)，下发的 grader.cpp 也不会，所以这其实是一张有向图？），再传给 B，即 B 只知道新图的形态。
B 需要返回原图，需要保证点数、边数、每条边连的端点编号相同，但不要求还原边的编号以及边的方向。

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先假设题目的意思是，无向边同样会被打乱。

显然原图的边不能动，只需要求出每个点的原始编号即可。容易想到使用 \(10\) 个点来模拟 \(2^0,2^1,\cdots,2^9\)，然后利用二进制连边即可确定其余所有点的编号。分别记这十个点为 \(x_0,x_1,\cdots,x_9\)。

但是，这十个点会混入其余 \(n\) 个点中。总共有 \(12\) 个可用点，尝试用剩下的两个点来确定这十个点，分别记为 \(S,T\)。

考虑先找 \(S\)，想到可以让它的度数最大，让它和其余所有点连边。但是这样没有任何信息，所以让它和除了 \(T\) 之外的其余所有点连边，这样，如果保证了 \(S\) 的度数最大，B 就可以找到唯一的 \(S\)，从而找到 \(T\)。

然后，让 \(T\) 与 \(x_0\sim x_9\) 连边，这样就可以找到这十个点了。

接下来有两个问题：第一个是，如果原图存在一个度数为 \(n-1\) 的点，它又恰好是第 \(511\) 号点，十个点都和它有连边，就无法确定 \(S\) 了。解决方法是直接挖掉 \(511\)，也就是按照 \(1,2,\cdots,510,512,\cdots\) 编号。
（进一步地，甚至可以挖去所有 \(\text{popcount}_x\ge9\) 的总共 \(11\) 个点，由于 \(2^{10}-n=24\)，挖掉二十三个点都没问题。）

第二个是，我们只找到了十个点，却并不确定它们之间的顺序。连边 \((x_0,x_1),(x_1,x_2),\cdots,(x_8,x_9)\)，只需要确定到底是 \(x_0\sim x_9\) 还是 \(x_9\sim x_0\)。找到头和尾所连的点中唯一的那个 \(\text{popcount}=1\) 的点，它就是 \(1\) 号点或者 \(512\) 号点。直接挖掉 \(512\)，也就是按照 \(1,2,\cdots,510,513,\cdots\) 编号即可。

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进一步地，我们真的需要传原图吗？考虑对每个点随机赋 \(0/1\) 的权值，然后把边的存在性异或上两个端点的权值。A 和 B 可以共享一个固定的随机种子。

这样，每条边都有一半的概率存在，每个点期望度数只有 \(n/2\)。让 \(S\) 向除了 \(x_0\sim x_9\) 的其余 \(n\) 个点连边，这样 \(S\) 就成了度数最大的点，接着看它没连的点就能知道 \(x_0\sim x_9\)。于是 \(T\) 就不需要了，限制被缩小到 \(11\)。

题解说如果允许传有向边，限制可以缩小到 \(1\)，但是没说做法。