HT-113-NOI 题解

\(\color{purple}\text{HT-113-NOI-A}\)：给定序列 \(a_{1\sim n}\)，\(q\) 次询问给出区间 \([l,r]\)，求最大的 \(k\) 使得区间内每种颜色的出现次数均为 \(k\) 的倍数。\(n,m,a_i\le10^6\)。

考虑所有颜色的出现次数的种类数为根号级别，使用莫队+链表求出这些数。考虑到 gcd 变化次数至多为 \(\log V\)，暴力求 gcd 即可。略微卡常后直接通过。

题解做法是神秘随机化：对每一个颜色随机一个 \([0,2^{64})\) 之间的数，每次取出一位，取 \(1\) 的个数求 gcd。

\(\color{deeppink}\text{HT-113-NOI-B}\)：一个大小为 \(n+n\) 的二分图有不超过 \(m\) 条边。给出 \(a_{1\sim n+n,0\sim m}\)，表示如果点 \(i\) 的度数为 \(j\)，则有 \(a_{i,j}\) 的价值。对于 \(k=1\sim n\)，求最大匹配恰好为 \(k\) 时，所有点的价值和的最大值。\(n\le20,m\le40,a_{i,j}\le10^7\)。

引理（konig 引理）：最大匹配的大小等于最小点覆盖的大小。

推论一：二分图钦定匹配大小至少为 \(k\)，点覆盖至多为 \(k\) 后最大匹配恰好为 \(k\)。

推论二：最大匹配的 \(k\) 条边，必定一端为覆盖点，另一端不是。
证明显然：若两端都为覆盖点，则必定有另一条匹配边的两端都不是覆盖点，不满足点覆盖性质。

考虑如何限制点覆盖的大小，即没有边的两端都不是覆盖点中。由推论二，这样的边只有可能是非匹配边。

考虑记录匹配边数为 \(k\)，非匹配边数量 \(l\)，和左部覆盖点相连的共有 \(x\) 条，和右部覆盖点相连的有 \(y\) 条（左部覆盖点数量+右部覆盖点数量 \(=k\)）。注意我们完全不关心图的具体形态。

边数 \(m\) 的限制即为 \(l+k\le m\)，接下来不考虑它。

推论三：存在一种构造方式，能够使用至多 \(k\) 个点覆盖到所有 \(l\) 条非匹配边，当且仅当 \(l\le x+y\)。

证明：依次加入 \(l\) 条边，\(x+y\) 的增加量由两端是否为覆盖点决定，其中仅不满足点覆盖性质（两端均不是覆盖点）时增加量为零。

于是考虑枚举点，枚举其度数，枚举其是否连有一条匹配边，如果是枚举其是否为覆盖点，转移即可。

咕。