【分治】力扣241：为运算表达式设计优先级

给定一个只包含加、减和乘法的数学表达式，求通过加括号可以得到多少种不同的结果。

示例：输入是一个字符串，表示数学表达式；输出是一个数组，存储所有不同的加括号结果

输入：expression = "23-45"
输出：[-34,-14,-10,-10,10]
解释：
(2(3-(45))) = -34
((23)-(45)) = -14
((2(3-4))5) = -10
(2((3-4)5)) = -10
(((23)-4)5) = 10

1、从上到下的分治（递归），最好加上 memoization 去重
2、从下到上的动态规划

方法一：分治
对于一个形如 x op y（op 为运算符，x 和 y 为数） 的算式而言，它的结果组合取决于 x 和 y 的结果组合数，而 x 和 y 又可以写成形如 x op y 的算式。

因此，该问题的子问题就是 x op y 中的 x 和 y：以运算符分隔的左右两侧算式解。

• 分解：按运算符分成左右两部分，分别求解
• 解决：实现一个递归函数，输入算式，返回算式解
• 合并：根据运算符合并左右两部分的解，得出最终解

class Solution:
    def diffWaysToCompute(self, input: str) -> List[int]:
        # 如果只有数字，直接返回
        if input.isdigit():
            return [int(input)]

        res = []
        for i, char in enumerate(input):
            if char in ['+', '-', '*']:
                # 1.分解：遇到运算符，计算左右两侧的结果集
                # 2.解决：diffWaysToCompute 递归函数求出子问题的解
                left = self.diffWaysToCompute(input[:i])
                right = self.diffWaysToCompute(input[i+1:])
                # 3.合并：根据运算符合并子问题的解
                for l in left:
                    for r in right:
                        if char == '+':
                            res.append(l + r)
                        elif char == '-':
                            res.append(l - r)
                        else:
                            res.append(l * r)

        return res

作者：jalan
链接：https://leetcode-cn.com/problems/different-ways-to-add-parentheses/solution/pythongolang-fen-zhi-suan-fa-by-jalan/

方法2：动态规划
按理说写完递归、写完 memoization ，接下来动态规划也能顺理成章的写出来了，比如经典的 爬楼梯 问题。但这个如果什么都不处理，dp 数组的含义比较难定义。
最巧妙的地方就是做一个预处理，把每个数字提前转为 int 然后存起来，同时把运算符也都存起来。
这样的话就有了两个 list，一个保存了所有数字，一个保存了所有运算符。

2 * 3 - 4 * 5
存起来的数字是 numList = [2 3 4 5]，
存起来的运算符是 opList = [*, -, *]。

dp[i][j] 也比较好定义了，含义是第 i 到第 j 个数字（从 0 开始计数）范围内的表达式的所有解。

2 * 3 - 4 * 5
dp[1][3] 就代表第一个数字 3 到第三个数字 5 范围内的表达式 3 - 4 * 5 的所有解。

有了一个数字的所有解，然后两个数字的所有解就可以求出来。
有了两个数字的所有解，然后三个数字的所有解就和解法一求法一样。
把三个数字分成两部分，将两部分的解两两组合起来即可。
两部分之间的运算符的话，因为表达式是一个数字一个运算符，所以运算符的下标就是左部分最后一个数字的下标。

2 * 3 - 4 * 5
存起来的数字是 numList = [2 3 4 5]，
存起来的运算符是 opList = [*, -, ]。
假设我们求 dp[1][3]
也就是计算 3 - 4 * 5 的解
分成 3 和 4 * 5 两部分，3 对应的下标是 1 ，对应的运算符就是 opList[1] = '-' 。
也就是计算 3 - 20 = -17
分成 3 - 4 和 5 两部分，4 的下标是 2 ，对应的运算符就是 opList[2] = ''。
也就是计算 -1 * 5 = -5
所以 dp[1][3] = [-17 -5]

四个、五个... 都可以分成两部分，然后通过之前的解求出来。
直到包含了所有数字的解求出来，假设数字总个数是 n，dp[0][n-1] 就是最后返回的了。

作者：windliang
链接：https://leetcode-cn.com/problems/different-ways-to-add-parentheses/solution/xiang-xi-tong-su-de-si-lu-fen-xi-duo-jie-fa-by-5-5/