【数学问题】力扣204：计数质数

给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量

示例：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

厄拉多塞筛法（Sieve of Eratosthenes)，简称埃氏筛法，是非常常用的、判断一个整数是否是质数的方法。并且它可以在判断一个整数 n 时，同时判断所小于 n 的整数，因此非常适合这道题。其原理也十分易懂：从 1 到 n 遍历，假设当前遍历到 m，则把所有小于 n 的、且是 m 的倍数的整数标为和数；遍历完成后，没有被标为和数的数字即为质数。

如果 x 是质数，那么大于 x 的 x 的倍数 2x、3x、… 一定不是质数，因此可以从这里入手。

• 设 isPrime[i] 表示数 i 是不是质数，如果是质数则为 1，否则为 0。从小到大遍历每个数，如果这个数为质数，则将其所有的倍数都标记为合数（除了该质数本身），即 0，这样在运行结束的时候我们即能知道质数的个数。
• 这种方法的正确性是比较显然的：显然不会将质数标记成合数；另一方面，当从小到大遍历到数 x 时，倘若它是合数，则它一定是某个小于 x 的质数 y 的整数倍，故根据此方法的步骤，我们在遍历到 y 时，就一定会在此时将 x 标记为 isPrime[x] = 0。因此，这种方法也不会将合数标记为质数。
• 这里还可以继续优化，对于一个质数 x，如果从 2x 开始标记其实是冗余的，应该直接从 x⋅x 开始标记，因为 2x,3x,… 这些数一定在 x 之前就被其他数的倍数标记过了，例如 2 的所有倍数，3 的所有倍数等。

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return 0
        isPrime = [1] * n
        res = 0
        for i in range(2, n):
            # if isPrime[i]
            if isPrime[i] == 1:
                res += 1
            for j in range(i * i, n, i):
                isPrime[j] = 0
        return res

用例全部通过了，但是超出时间限制。
时间复杂度：O(nloglogn)。
空间复杂度：O(n)。需要 O(n) 的空间记录每个数是否为质数。
数学思路：

1. 题目说的是小于n的所有数字中质数的个数 所以是 is_prime = [True]*(n)，表示只考虑is_prime[1],...,is_prime[n-1]
2. 从2开始向后遍历，每遇到一个数字，将其倍数所对应的 is_prime 设为False，因此遇到新的数字 num ，is_prime[num] = True 说明它不是任何 2...num-1的数字的倍数，即质数。

def countPrimes(n):
    is_prime = [True]*(n)
    ans = 0
    for num in range(2,n): 
        if is_prime[num]:
            ans+=1
            # 右边界:因为数字最大是n-1 所以只需要到(n-1)//num 右边是开区间 所以+1
            for k in range(1,(n-1)//num+1):
                is_prime[num*k]=False
    return ans

作者：yuer-flyfly
链接：https://leetcode-cn.com/problems/count-primes/solution/ji-shu-zhi-shu-yi-ci-bian-li-python-by-y-dnqr/

两者结合：

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return 0
        isPrime = [1] * n
        # 埃式筛，把不大于根号 n 的所有质数的倍数剔除
        isPrime[0] = isPrime[1] = 0 # 0和1不是质数，先排除
        for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
            if isPrime[i]:
                j = i * i
                isPrime[j:n:i] = [0] * ((n - 1 - j) // i + 1)
        return sum(isPrime)