【学术】数论分块

提示：本篇文章只讲数论分块(也叫整除分块)的基本形式，感兴趣可以自行查阅资料。

update 2025.11.09 添加时间复杂度分析

几个定义

• 分块：
  顾名思义，就是把一个区间分成几小块，然后对于每个块进行单独的处理。它的核心思想是将一个大规模的输入划分成更小的“块”，然后针对每一块单独处理。（只需要了解就行）
• \(\left\lfloor\dfrac{}{}\right\rfloor\) 符号，作用是向下取整，如 \(\dfrac{13}{5}=2.6\)，则 \(\left\lfloor\dfrac{13}{5}\right\rfloor=2\)。

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考虑这道题：

给出 \(n\), \(k\), 求： \(\displaystyle f(n,k)=\sum_{i=1}^nk\%i\)

首先把%去掉

\[\begin{align} \displaystyle f(n,k)&=\sum_{i=1}^nk\%i\\ &=\sum_{i=1}^nk-i\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\\ &=nk-\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\\ \end{align} \]

那么关键就是求出：\(\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\),这就是数论分块的功能了。

注意到\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)其实是有很多是相同的,比如当n=9时

\(i\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)
\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)	\(9\)	\(4\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

那么我们完全可以将\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)的数一起计算，这种思想利用了分块思想，也是数论分块名字的由来。

那么如何计算每个块？也就是问对于固定数 \(l\),且 \(\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{r}\right\rfloor\)，求 \(max(r)\)。

先给结论：\(max(r)=\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor}\right\rfloor\)

证明：

令 \(k=\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor\)。

则由向下取整的定义：\(k\le\dfrac{n}{l}\lt k+1\)。

取倒数得: \(\dfrac{n}{k}\geq l>\dfrac{n}{k+1}\)

所以 \(l\) 的最大值为 \(\dfrac{n}{k}\),即\(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor}\right\rfloor\)。

所以可以从上一块末尾编号+1作为当前块的起点，再用以上结论求出末尾，用等差数列公式一次计算整个块之和。

洛谷P2261

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,ans;
void solve()
{
    ans=n*k;
    int l=1,r;
    for(;l<=n;l=r+1){
        if(k/l) r=min(k/(k/l),n);
        else r=n;
        ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)>>1;
    }
}
int main()
{
    while(cin>>n>>k)
        solve(),
        cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

当 \(1 \le a\le \sqrt{n}\) ，显然只有 \(\sqrt{n}\) 种取值。当\(\sqrt{n} \le a\le n\)，\(\left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor \le \sqrt{n}\)，也只有\(\sqrt{n}\) 种取值。
所以块数不超过 \(2*\sqrt{n}\) ，因此时间复杂度为\(\mathcal{O(\sqrt{n})}\)。