CF 932E Team Work

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题意：求一个和式

\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{x} i^k \]

这个时候我们需要推一下式子，我们把\(i^k\)用第二类斯特林数展开：

\[i^k=\sum_{j=0}^kj!S(k,j)\binom{i}{j} \]

\[\sum_{i=0}^n\frac{n!}{(n-i)!}\sum_{j=0}^k\frac{S(k,j)}{(i-j)!} \]

\[\sum_{j=0}^kS(k,j) \sum_{i=j}^n\frac{n!}{(n-i)!(i-j)!} \]

\[\sum_{j=0}^kS(k,j)\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=j}^n\frac{(n-j)!}{(n-i)!(i-j)!} \]

\[\sum_{j=0}^{min(n,k)}\frac{n!}{(n-j)!}S(k,j)2^{n-j} \]

接下来的事情就是，在O(\(k^2\))内的时间预处理出第二类斯特林数，然后套用上面的算式就行了。

#include<bits/stdc++.h>

#define all(x) x.begin(),x.end()
#define fi first
#define sd second
#define lson (nd<<1)
#define rson (nd+nd+1)
#define PB push_back
#define mid (l+r>>1)
#define MP make_pair
#define SZ(x) (int)x.size()

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef vector<int> VI;

typedef pair<int,int> PII;

inline int read(){
    int res=0, f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'|ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return res*f;
}

const int MAXN = 200'005;

const int MOD = 1e9+7;

void addmod(int& a, int b){a+=b;if(a>=MOD)a-=MOD;}
int mulmod(int a, int b){return 1ll*a*b%MOD;}

template<typename T>
void chmin(T& a, T b){if(a>b)a=b;}

template<typename T>
void chmax(T& a, T b){if(b>a)a=b;}

int fac[MAXN], inv[MAXN];

int S[5005][5005];

int n, k;

void init(){
    fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=200000;++i)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%MOD;
    for(int i=2;i<=200000;++i)inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    for(int i=1;i<=200000;++i)inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%MOD;

    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=5000;++i){
        for(int j=1;j<=i;++j)S[i][j]=(1ll*S[i-1][j-1]+1ll*j*S[i-1][j])%MOD;
    }
}

int powmod(int x, int y){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1)
            res=1ll*res*x%MOD;
        x=1ll*x*x%MOD;
        y>>=1;
    }

    return res;
}

int getVal(int x, int y){
    int res=1;
    for(int i=0;i<y;++i)res=1ll*res*(x-i)%MOD;
    return res%MOD;
}

int main(){
    init();
    n=read(),k=read();
    int res=0;
    for(int i=0;i<=min(n,k);++i){
        res+=1ll*getVal(n,i)%MOD*S[k][i]%MOD*powmod(2,n-i)%MOD;
        res%=MOD;
    }

    cout<<(res%MOD+MOD)%MOD;

    return 0;
}