ARC203 - C「WHY MY COMBINATION SO BAD???」

试证明：

\[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}\binom{m}{i}i=\binom{n+m-2}{n-1}(n+m-1) \]

证明：

\[\sum_{i=0}^ni\binom{n}{i}\binom{m}{i} \]

\[=\sum_{i=0}^nn\binom{n-1}{i-1}\binom{m}{i} \]

\[=n\sum_{i=0}\binom{n-1}{n-i}\binom{m}{i} \]

\[=n\binom{n+m-1}{n} \]

\[=\binom{n+m-2}{n-1}(n-m+1) \]

组合意义：均为从 \((0,0)\) 走到 \((n,m)\) 的 \(\tt UL\) 拐角个数。

• 左边：考虑记录所有 \(\tt UL\) 拐角位置，等价于在 \((0,0)\) 至 \((n-1,m-1)\) 中选出 \(i\) 个点使其互相偏序的总点数。

• 右边：考虑先拿出所有 \((0,0)\) 走到 \((n-1,m-1)\) 的路径，然后再从 \(n+m-1\) 个点中选择插入一个 \(\tt UL\) 拐角。