$\mu$ 和 $\sigma_0$ 的优美对称

有结论：

\[\sigma_0(n^2) = \sum\limits_{d|n} \mu(d)^2\sigma_0(\frac nd) = \sum\limits_{d|n} \sigma_0(d)^2\mu(\frac nd) \]

证明：

由于这 \(3\) 个函数都是积性函数，所以只要考虑质数幂处的取值即可。

• \(\sigma_0(p^{2k}) = 2k+1\)。

• \(\sum\limits_{d|p^k} \mu(d)^2\sigma_0(\frac {p^k}d) = \sigma_0(p^k)+\sigma_0(p^{k-1}) = (k+1)+k = 2k+1\)。

• \(\sum\limits_{d|p^k} \sigma_0(d)^2\mu(\frac {p^k}d) = \sigma_0(p^k)^2-\sigma_0(p^{k-1})^2 = (k+1)^2-k^2 = 2k+1\)。

所以 \(\sigma_0(p^{2k}) = \sum\limits_{d|p^k} \mu(d)^2\sigma_0(\frac {p^k}d) = \sum\limits_{d|p^k} \sigma_0(d)^2\mu(\frac {p^k}d)\)。

从而有 \(\sigma_0(n^2) = \sum\limits_{d|n} \mu(d)^2\sigma_0(\frac nd) = \sum\limits_{d|n} \sigma_0(d)^2\mu(\frac nd)\)。