Nephren Tree

因为 Chtholly Tree 并不是树，所以 Nephren Tree 也不是树，更像是一种 trick。

引入

给定一个长为 \(n\) 的序列，\(m\) 次操作：

• 操作 1：给定 \(l\) \(r\)，将 \([l,r]\) 的所有数加 \(k\)。
• 操作 2：给定 \(l\) \(r\) \(p\)，询问 \(f(l,r) \bmod p\)，其中：
  \[f(l,r)=\left\{ \begin{matrix} a_l^{f(l+1,r)} & l<r \\ a_l & l=r\end{matrix} \right. \]

\(n\leq 10^5\)，\(m\leq 10^5\)，\(p\leq2\times 10^7\)。

解法

先考虑没有修改怎么做。

首先有扩展欧拉定理：

\[a^b \bmod p \equiv \left\{ \begin{matrix} a^{b\bmod \varphi(p)} & b<\varphi(p) \\ a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)} & b\geq\varphi(p)\end{matrix} \right. \]

也就是说我们可以构造函数 \(g(l,r,p)\) 计算 \(f(l,r) \bmod p\)：

\[g(l,r,p)=\left\{ \begin{matrix} a_l^{g(l+1,r,\varphi(p))}\bmod p & l<r\wedge g(l+1,r,\varphi(p)) < \varphi(p)\\ a_l^{g(l+1,r,\varphi(p))+\varphi (p)}\bmod p & l<r\wedge g(l+1,r,\varphi(p)) \geq \varphi(p)\\ a_l\bmod p & l=r\end{matrix} \right. \]

我们发现 \(\varphi(p)\) 在 \(p\neq 2\) 时是偶数，而 \(\varphi(p)\leq \frac p2\) 在 \(p\) 是偶数时成立。

所以每进行一次 \(p\leftarrow \varphi(p)\) 的操作至少使 \(p\) 减少一半，故单次查询执行 \(p\leftarrow \varphi(p)\) 的操作的一个上界是 \(O(\log p)\)。

继续研究发现有修改问题不大，该用数据结构就用。

时间复杂度 \(O(p+q\log^2 p)\)，空间复杂度 \(O(p)\)，瓶颈在于快速求幂。

小结

容易发现 Nehpren Tree 对修改操作的要求仅仅是在线，也就是说 Nehpren Tree 支持区间异或等奇奇怪怪的操作，但是在 \(p>2\times 10^7\) 的 case 中由于无法快速求 \(\varphi(p)\) 使得时间复杂度变为 \(O(q(k\log p+\log^2 p+\sqrt p))\) 或 \(O(q(k\log p+\log^2 p+p^{\frac 14}))\)，其中 \(k\) 是数据结构的查询复杂度。