[AHOI2015 Junior] [Vijos P1943] 上学路上 【容斥+组合数】

题目链接：Vijos - P1943

 

题目分析

这是 AHOI 普及组的题目，然而我并不会做= =弱到不行= =

首先，从 (x, 0) 到 (0, y) 的最短路，一定是只能向左走和向上走，那么用组合数算一下方案数是 C(x + y, x) ，记为 Solve(x, y), 其实就是将 y 次向上走分配到 x + 1 个横坐标上。

那么不考虑不能有交点的方案就是 Solve(x1, y1) * Solve(x2, y2) 。

然后题目要求两条路径不能有交点，那么我们就考虑容斥，用总的方案减去有交点的方案。

我们将两条相交的路径在最左端的交点处进行交换，即那个交点向左的部分，原先属于路径 1 的部分现在属于路径2，原先属于路径 2 的部分现在属于路径 1。

那么，我们就得到了一条从 (x1, 0) 到 (0, y2) 的路径和一条 (x2, 0) 到 (0, y1) 的路径，可以发现，这样的一对路径和原题中相交的一对路径是一一对应的。

那么我们的答案就是 Solve(x1, y1) * Solve(x2, y2) - Solve(x1, y2) * Solve(x2, y1) 。

 

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MaxN = 200000 + 5, Mod = 1000000007, MN = 200000;

int x, y, xx, yy;

LL Ans;
LL Fac[MaxN];

void Prepare()
{
	Fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= MN; ++i)
		Fac[i] = Fac[i - 1] * (LL)i % Mod;
}

LL Pow(LL a, int b)
{
	LL ret = 1, f = a; 
	while (b)
	{
		if (b & 1) 
		{
			ret *= f;
			ret %= Mod;
		}
		b >>= 1;
		f *= f;
		f %= Mod;
	}
	return ret;
}

inline LL Inv(LL x)
{
	return Pow(x, Mod - 2);
}

LL C(int x, int y)
{
	return Fac[x] * Inv(Fac[y]) % Mod * Inv(Fac[x - y]) % Mod;
}

LL Solve(int x, int y)
{
	return C(x + y, x);
}

int main()
{
	Prepare();
	scanf("%d%d%d%d", &x, &xx, &y, &yy);
	Ans = (Solve(x, y) * Solve(xx, yy) % Mod - Solve(x, yy) * Solve(xx, y) % Mod) % Mod;
	Ans = (Ans + Mod) % Mod;
	cout << Ans << endl;	
	return 0;
}