GCD 与 LCM

GCD与LCM

本文将系统讲解两个核心概念——最大公约数（GCD） 和 最小公倍数（LCM），包括定义、性质、数学证明、编程实现及应用场景。

最大公约数（GCD）

GCD定义

整数a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD），是指能同时整除a和b的所有正整数中最大的那个，记为gcd(a, b)。

• 示例：gcd(15, 81) = 3（3是能同时整除15和81的最大整数）。
• 注意：由于正负数的因子完全相同（如-15的因子与15一致），因此gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)。编程时只需处理正整数，简化逻辑。

GCD核心性质

GCD具有多个重要性质，是推导算法和解决问题的基础：

1. 辗转性：gcd(a, b) = gcd(a, a + b) = gcd(a, k * a + b)（k为任意整数）。
   • 例：gcd(5, 3) = gcd(5, 5 + 3) = gcd(5, 8) = 1。
2. 数乘性：gcd(k * a, k * b) = k * gcd(a, b)（k为正整数）。
   • 例：gcd(2 * 3, 2 * 5) = 2 * gcd(3, 5) = 2 * 1 = 2。
3. 多变量扩展性：多个整数的 GCD 可通过两两计算推导，即gcd(a, b, c) = gcd[gcd(a, b), c]。
   • 例：gcd(4, 6, 8) = gcd[gcd(4,6), 8] = gcd(2, 8) = 2。
4. 互素性：若gcd(a, b) = d，则gcd(a / d, b / d) = 1（即a / d与b / d互素，没有除1外的公约数）。
   • 例：gcd(12, 18) = 6，则gcd(12 / 6, 18 / 6) = gcd(2, 3) = 1。
5. 消去性：gcd(a + c * b, b) = gcd(a, b)（c为任意整数）。
   • 例：gcd(5 + 2 * 3, 3) = gcd(11, 3) = 1，与gcd(5, 3) = 1一致。

GCD编程实现：欧几里得算法

欧几里得算法（又称辗转相除法）是计算 GCD 的高效算法，核心公式为：
gcd(a, b) = gcd(b, a % b)（）

• 边界条件：若b = 0，则gcd(a, 0) = a。
• 适用范围：a ≥ 0，b ＞ 0，若b等于0，则结果为0（若 a < b，第一次递归会自动交换位置，如gcd(3, 5) = gcd(5, 3 % 5) = gcd(5, 3)。

证明

欧几里得算法的正确性可通过以下两步证明：

证明1：(a, b)与(b, a % b)的公约数完全相同

设a = k * b + r（其中r = a % b，满足0 ≤ r < b）：

1. 若d是a和b的公约数，则r = a - k * b可被d整除（因a和k * b均能被d整除），故d也是b和r的公约数。
2. 若d是b和r的公约数，则a = k * b + r可被d整除（因k * b和r均能被d整除），故d也是a和b的公约数。

因此，(a, b)与(b, a % b)的公约数集合完全一致，最大公约数也必然相等。

证明2：基于素数分解的验证

设c = gcd(a, b)，则可将a和b表示为：
a = m * c，b = n * c（其中m和n为互素的正整数，即gcd(m, n) = 1）。

由r = a % b可知r = a - q * b（q为商，正整数），代入a和b的表达式：
r = m * c - q * n * c = (m - q * n) * c

此时b = n * c，r = (m - q * n) * c，且n与(m - q * n)互素（反证法：若n与(m - q * n)有公约数 ，则n = x * d，m - q * n = y * d其中x，y，d都是正整数，且d > 1，则 a = m * c = (q * x + y) * d * c，b = x * d * c，这时a，b的最大公约数变成d * c，与前提矛盾，所以n，m - q * n一定互质）。

因此gcd(b, r) = c = gcd(a, b)，即gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。

代码实现

• java

  /**
   * 欧几里得算法计算最大公约数（GCD）
   * @param a 整数a（非负）
   * @param b 整数b（非负，且不与a同时为0）
   * @return a和b的最大公约数
   */
  int gcd(int a, int b) {
      // 边界条件：若b为0，返回a（a此时非负）
      if (b == 0) {
          return a;
      }
      // 递归调用：gcd(a,b) = gcd(b, a%b)
      return gcd(b, a % b);
  }
  

• C++

  int gcd(int a, int b) {
      if (b == 0) {
        return a;
      }
      return gcd(b, a % b);
  }
  

最小公倍数（LCM）

LCM定义

整数a和b的最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM），是指能同时被a和b整除的所有正整数中最小的那个，记为lcm(a, b)。

• 示例：lcm(5, 6) = 30（30是能同时整除5和6的最小整数）。
• 注意：若a或b为0，LCM 无意义，编程时需确保输入为非零整数。

LCM与GCD的关系：基于算数基本定理

算数基本定理

任何大于1的正整数n，都可唯一分解为有限个素数的乘积（素数因子从小到大排列）：

其中p_i为素数且从小到大，C_i为正整数（素数的指数）。

GCD与LCM的素数分解表达式

设整数a和b的素数分解为：

（若某素数仅在一个数中出现，另一数的对应指数取0，如a = 2 ^ 3，b = 3 ^ 2，则a = (2 ^ 3) * (3 ^ 0))，b = (2 ^ 0) * (3 ^ 2)）。

则：

• GCD取各素数的最小指数：
• LCM取各素数的最大指数：

核心公式：lcm(a, b) = (a * b) / gcd(a, b)

由素数分解表达式可推导：

由于min(x, y) + max(x, y) = x + y，因此：
gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b

整理得 LCM 计算公式：
lcm(a, b) = (a * b) / gcd(a, b)

关键优化：计算时需先做除法再做乘法（即a / gcd(a, b) * b ），避免a * b超出整数范围导致溢出（如a = 10 ^ 9，b = 10 ^ 9，a * b = 10 ^ 18，超出int范围，但 a / gcd(a, b) * b = 1 * 10 ^ 9 = 10 ^ 9无溢出）。

LCM编程实现

基于GCD函数，直接套用核心公式即可实现LCM，需注意处理输入不为0的情况。

代码实现

• java

  /**
   * 计算最小公倍数（LCM）：基于GCD公式
   * @param a 正整数a
   * @param b 正整数b
   * @return a和b的最小公倍数
   */
  int lcm(int a, int b) {
      // 处理输入为0的情况
      if (a == 0 || b == 0) {
          return -1;
      }
      return a / gcd(a, b) * b;
  }
  
  // 复用之前实现的GCD函数
  int gcd(int a, int b) {
      if (b == 0) {
          return a;
      }
      return gcd(b, a % b);
  }
  

• C++

  int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
  int lcm(int a, int b) {
      return (a == 0 || b == 0) ? -1 : a / gcd(a, b) * b;
  }
  

总结

概念	核心公式/定理	编程实现核心	典型应用场景
GCD	gcd(a, b) = gcd(b, a % b)	欧几里得算法（递归/迭代）	约分、LCM计算、裴蜀定理前置
LCM	lcm(a, b) = (a * b) / gcd(a,b)	基于GCD推导	分数通分、周期计算（如两个事件同时发生的时间）