【题解】矩阵快速幂+共轭根式

首先，观察到 \(2n\) 的特殊性， 我们先把他平方 \(\to\) \(\left\lfloor(5+2\sqrt{6})^n\right\rfloor\).

设 \(A_n+B_n\sqrt{6}=(5+2\sqrt{6})^n\)（这里的 \(A_n,B_n\) 是整数）。评注：设成这个形式 \(A_n+B_n\sqrt{6}\) 很巧妙\(\mathbf{\Delta}\)

$(A_{n-1}+B_{n-1}\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=A_n+B_n\sqrt{6} \to (5A_{n-1}+12B_{n-1})+(5B_{n-1}+2A_{n-1})\sqrt{6} $

\(\to A_n=5A_{n-1}+12B_{n-1}, B_n=5B_{n-1}+2A_{n-1}\).

\(A_1=5, B_1=2\)， \((A_n,B_n)\begin{pmatrix}5&2\\12&5\end{pmatrix}=(A_{n+1},B_{n+1})\).

至此，我们可以算出 \(A_n, B_n\)，但仍需解决 \(A_n+B_n \sqrt6\) 向下取整是多少。\(\mathbf{\Delta}\)

下面的方法非常巧妙。

\(A_n-B_n\sqrt{6}=(5-2\sqrt{6})^n \to\) 可得 \(A_n+B_n\sqrt{6}=2A_n-(A_n-B_n\sqrt{6})=K\)， \(2A_n-1<K<2A_n\). 现在的问题转化为求 \(2A_n-1\).