LCA 问题解法（Least Common Ancestor）

LCA = Least Common Ancestor

1. 倍增

先确定一点为根。
预处理出\(f[i][j]\), 表示从\(i\)开始往上跳\(2^j\)，所到达的节点编号。

对于求解\(a\)和\(b\)的LCA：（假设其LCA为节点\(c\), \(c\)的儿子节点为\(k\)）
我们先让它们跳到同一高度。
然后应注意这几个事实：\(a\)和\(b\)到\(k\)所需要跳的长度\(len\)是相等的。也就是说存在一个唯一的\(len\)的二进制分解；\(2^i>2^{i-1}+2^{i-2}+...+2^0\)
接下来要做的是从大到小枚举\(2\)的次幂，对于\(2^i\), 如果\(a\)和\(b\)往上跳\(2^i\)不相等，那就让\(a\)和\(b\)往上跳\(2^i\)，即\(len\)的二进制分解后第\(i\)位为\(1\)

2. 将树上 LCA 转化为序列 RMQ（Range Minimum/Maximum Query）

2.0 定义

欧拉序列：上面这棵树所对应的欧拉序列为：1, 5, 1, 4, 3, 4, 2, 4, 1
dfs 序：1 5 4 3 2。后文用 \(D_i\) 代替 dfs 序中的第 \(i\) 项。
dfn：\(dfn_1=1,dfn_5=2,dfn_4=3,dfn_3=4,dfn_2=5\)
\(pos_i\) : 节点 \(i\) 在欧拉序列中第一次出现的位置。如，\(pos_4=4\)。
\(LCA(a, b)\)：\(a, b\) 的 LCA 的节点编号。

2.1 dfs 序

• 一个事实：遍历以 \(x\) 为根的子树：\(x\) — \(x\) 的子树1 — \(x\) 的子树2... || 在 dfs 序中，\(x\) 的后代一定在 \(x\) 之后。

• 算法分析

问题：对于 \(u, v\), 求 \(LCA(u,v)\)。\(u=v\) 特判。

不妨设 \(dfn_u<dfn_v\)，即先遍历到 \(u\)。

① 当 \(u,v\) 不为祖孙关系时，即 \(LCA(u,v)\neq u\)
\(D[dfn[u]...dfn[v]]\) 中/深度最小的节点/的父亲是 \(LCA(u,v)\)。（※）

② 若 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，我们想要沿用 ① 的方法（※），希望它能推广到这种情况。
\(D[dfn[u]+1...dfn[v]]\) 中/深度最小的节点/的父亲是 \(LCA(u,v)\)。
事实上，我们发现这个对于 ① 的情况也适用。（※）

综上，对于 \(dfn_u<dfn_v\)， \(D[dfn[u]+1...dfn[v]]\) 中/深度最小的节点/的父亲是 \(LCA(u,v)\)。

2.2 欧拉序

• 算法过程：

对于给定的有根树 \(T\), 求出其欧拉序列 \(F\)。
现在想要求节点 \(a, b\) 的 LCA。
不妨设 \(pos_a<=pos_b\)。
有结论： 设 \(F_k\) 的深度是 \(F[pos_a...pos_b]\) 中深度最小的节点，节点 \(a, b\) 的 LCA 就是 \(F_k\)。

• 正确性说明：

首先，\(F[pos_a...pos_b]\) 中有 \(LCA(a, b)\)。
其次，\(F[pos_a...pos_b]\) 中深度最小的节点有且仅有一个。
最后，\(LCA(a,b)\) 是 \(F[pos_a...pos_b]\) 中深度最小的节点。