树状数组

（网上的许多博客讲解树状数组的时候都把他当做“一棵树”来讲解，但我认为把他当成“数组”来理解反而更加清晰易懂）

先引入一下 \(lowbit\): 设有一个数 \(x\), 那么 \(lowbit(x)\) 就是把 \(x\) 用二进制表示后，从右到左第一个 \(1\) 所表示的权值。例如，\(lowbit(5)=lowbit(101)=1, lowbit(10)=lowbit(1010)=2, lowbit(8)=8\). （\(lowbit\) 也表示最大能整除 \(x\) 的 \(2\) 的幂）

树状数组具体实现：我们设原数组为 \(a\), 树状数组为 \(c\). 其中，\(c_i\) 表示 \(a[i]+a[i-1]+...+a[i-lowbit(i)+1]\), 即从 \(a_i\) 开始（包括 \(a_i\)）的前面的 \(lowbit(i)\) 个数的和。

查询

—— 如何查询 \(a_1+a_2+...+a_x\) 呢？

while(x){
    //x 代表着“现在还有 a_1, a_2...a_x 这些数没有加到 ans 里”
    ans += c[x];//运行完这一行表示 a_x 前 lowbit(x) 个数(包括 a_x)已经加到 ans 里了，
    x -= lowbit(x);//根据上一行的解释和 x 的定义，x -= lowbit(x) 是显然的
}

至于如何查询 \([l, r]\) 的和，只需用 \(query(r)-query(l-1)\) 即可。

单点修改

—— 要给 \(a_x\) 加上 \(k\)，\(c\) 数组需要怎么修改呢？
先给出做法：

while(x <= N){//这里, N 表示原数组的大小
    c[x] += k;
    x += lowbit(x);
}

证明其正确性：

当 \(a_x\) 修改时，我们维护的 \(c\) 数组也要相应的修改——要且仅要修改那些包含了 \(a_x\) 的 \(c_i\). 现在，问题转化成了，我们怎样找全包含了 \(a_x\) 的 \(c_i\) 呢？

首先，我们约定，“\(c_n\) 覆盖 \(c_m\) ” 表示 \(c_m\) 所维护的区间 \(\in\) \(c_n\) 所维护的区间。例如，\(c_8(它维护 a_8+a_7+a_6+a_5)\) 覆盖 \(c_6(它维护a_6+a_5)\).

• 性质 \(1\)：若 \(c_a\) 覆盖 \(c_b\), 且 \(c_b\) 覆盖 \(c_n\), 那么 \(c_a\) 覆盖 \(c_n\)。\((a \ne b \ne n)\)（这是比较显然的，结合“覆盖”的定义不难想明白）
• 命题 \(1: c[x+lowbit(x)]\) 覆盖 \(c[x]\)
  证明：
  首先，不难得出，\(lowbit(x+lowbit(x)) > lowbit(x)\).
  \(\Rightarrow lowbit(x+lowbit(x)) \ge lowbit(x) \times 2\)
  设 \(lowbit(x+lowbit(x))=lowbit(x)\times2+k\) \((k\ge0)\)
  \(c[x]=a[x]+...+a[x-lowbit(x)+1]\)
  \(c[x+lowbit(x)]=a[x+lowbit(x)]+...+a[a-lowbit(x)+1-k]\)
  显然，\(c[x+lowbit(x)]\) 覆盖 \(c[x]\).
• 命题 \(2\) : 若 \(x < y < x+lowbit(x)\) \((lowbit(x)>1)\), 则 \(c[y] \cap c[x]=\varnothing\)（这里，\(c[y] \cap c[x]\) 表示 \(c[y]\) 与 \(c[x]\) 所维护的区间的交集）
  证明：
  设 \(y=x+b\). 那么，有 \(1 \le b < lowbit(x)\), 同时，可知 \(lowbit(y)=lowbit(b)\) (这里需要想一想，不难).
  考察 \(c[y]\) 所维护的区间的最左端 \(y-lowbit(y)+1\). \(y-lowbit(y)+1=x+b-lowbit(b)+1 > x\)
  所以，\(c[y] \cap c[x]=\varnothing\)

有了以上的命题和性质，前面单点修改的代码的正确性，也就不难证明了。

---

当问题可以转化为对一个序列进行单点修改，区间查询时，我们就可以去维护树状数组而非直接维护这个序列。