树的直径（图论）

Part 1 有根树的直径

对于一棵无根树，我们可以先确定一个结点为根，以确定树的形态。注意，树的形态并不会影响答案，也就是说根是哪个点不重要。

在这里，我们假设树的边权是 $1$ 这种情况（一般情况）

下文所说的树都指有根树。

1. 定义：

一棵树上，集合 $T$ 的元素为任意两个点的距离（是唯一的），集合 $T$ 中最大的数便是树的直径。

2. DP 求法：

先设置两个数组 $dp1, dp2$. $dp1_i$ 表示从 $i$ 出发（向下走）的最长链的长度，$dp2_i$ 表示从 $i$ 出发（向下走）的次长链的长度，同时定义 $dp1_i$ 和 $dp2_i$ 是两条不同的链（两个链没有重复的边）。

再设置数组 $dp$. $dp_i$ 表示以 $i$ 为根节点的子树的直径。

算法流程：

STEP 1 求出 $dp1$, $dp2$: 

考虑用递归求解：

void dfs(int x){ //dfs(x) 可求出 dp1[x] 与 dp2[x]
    循环考察结点 x 的所有孩子节点（毕竟最后的次长/最长链一定会包含一条x的出边）
    对于每一个孩子结点 u:
        1° dp1[u] + 1 < dp2[x]: dp1[x] 和 dp2[x] 都不用更新
        2° dp2[x] < dp1[u] + 1 < dp1[x]: dp1[x] 不用更新, dp2[x] = dp1[u] + 1
        3° dp1[u] + 1 >= dp1[x]: dp2[x]=dp1[x], dp1[x] = dp1[u] + 1
}

STEP 2 求出 $dp$: 

记以 $i$ 为根的子树为 $Tree_i$

对于 $dp_i$, 我们需要讨论这两大情况：最后的答案即 $Tree_i$ 的直径有可能经过结点 $i$, 或不经过结点 $i$

直径不经过结点 $i$ 就代表它一定在 $Tree_i$ 的任一子树里（注意 $Tree_i$ 的子树和子树之间是互相独立的），所以我们需要枚举在每一个子树的情况。

对于经过结点 $i$ 这一种情况，$dp_i=max(dp_i, dp1_i+dp2_i)$

3. 树的直径的性质

 若一棵树有多个直径，则这些直径都经过其中点。

Part 2 题目——数字转化题解

我们先规定对于任意一种转化关系（x, y）, 若 $y$ 为约数和，我们让 $y$ 成为 $x$ 的父亲。

因为对于每个数，都只会有一个约数和，所以每个结点只有一个父亲，所以最后建出来的是树。

然后找出所有子树跑树的直径再取 max 即可。

模板题代码