算法导论课后习题解析 第一章
最近开始看算法导论了，但是发现官方给的参考答案只涵盖了一部分的习题，所以把自己做的答案分享一下，如有错误之处尽管指出，希望通过这个过程能与大家共同进步
我看的版本是英文第三版 (Introduction to Algorithms, Third Edition)，所有的题目分为每一节后的练习(Exercises)和每一章后的问题(Problems)，所有的题目编号都按照书上的编号来。比如1.1-1表明第一章第一节的练习题第一题，1-1表明第一章的问题的第一题。
1.1-1
需要排序的问题现实中一抓一大把，比如NBA常规赛东西部前八名才能进季后赛，那么要找出前八名来，就得按积分排序了。
再比如要使用二分查找，就必须对一个有序的序列进行，为了保证序列有序，就得进行排序了。
总之，排序算法是非常基础的算法，很多算法都需要依赖于排序的结果或者思想。
1.1-2
除了运行速度，需要的存储空间也是非常重要的性能指标。比如说你发明了一个算法对于某个输入能在10s内执行完毕，需要1K的内存，而别人的算法能在5s钟内完成，却需要1G的内存，在存储空间非常有限的情况下你的算法是非常有意义的。
1.1-3
以顺序表为例
- 优点：实现简单，不需要额外空间开销，能够随机访问元素，在尾部添加删除效率很高，连续存放不易产生内存碎片
- 缺点：在中间插入或删除需要移动后面的元素，最大容量难以改变
1.1-4
最短路径(shortest-path)和旅行商(traveling-salesman)问题都是图的经典问题，都需要找到一个满足要求的图的定点序列，使得该序列间边的权重和最小。
它们的不同之处在于复杂度，最短路径的复杂度为多项式复杂度，而旅行商的复杂度为阶乘复杂度，属于NP-complete问题。
1.1-5
需求最佳解(best solution)的问题有很多，比如上面提到的排序问题，只有积分前8的球队才能进入季后赛，而不可能是积分接近前八的球队进入季后赛。
只需要接近解(approximately)的问题也很多，比如我们去买苹果，我们不需要对所有的苹果按照质量好坏进行排序，只需要挑出比较好的几个即可。
1.2-1
比较多个文件是否完全相同可以先对每个文件按照某种hash算法生成一个key，然后比较每个文件生成的key来检查文件是否相同。
常用的hash算法有MD5和SHA1。
1.2-2
算出插入排序(insertion sort)和归并排序(merge sort)运行时间相同时输入的规模即可
$\eqalign { 8 n^2 & = 64 n \lg n \\ n & = 8 \lg n \\ n & \approx 43 }$
所以，当n大于43的时候归并排序的效率要大于插入排序。
1.2-3
同1.2-2
所以n=15为所求
1-1
| second | minute | hour | day | mouth | year | century | |
| $\lg n$ | $10^{10^9}$ | - | - | - | - | - | - |
| $\sqrt n$ | $10^{18}$ | $10^{22}$ | $10^{24}$ | $10^{28}$ | $10^{30}$ | $10^{32}$ | $10^{36}$ |
| $n$ | $10^9$ | $10^{11}$ | $10^{12}$ | $10^{14}$ | $10^{15}$ | $10^{16}$ | $10^{18}$ |
| $n \lg n$ | $10^8$ | $10^{10}$ | $10^{11}$ | $10^{12}$ | $10^{13}$ | $10^{14}$ | $10^{16}$ |
| $n^2$ | $30000$ | $10^6$ | $10^6$ | $10^7$ | $10^7$ | $10^8$ | $10^9$ |
| $n^3$ | $1000$ | $10^4$ | $10^4$ | $10^4$ | $10^5$ | $10^5$ | $10^6$ |
| $2^n$ | $30$ | $38$ | $45$ | $50$ | $55$ | $59$ | $65$ |
| $n!$ | $12$ | $13$ | $15$ | $16$ | $18$ | $19$ | $20$ |
带'-'的表示数量太大，已经没有意义了。
这道题主要是让大家直观地了解各个复杂度随输入增长的变化程度。
