[ARC124F] Chance Meeting 题解

容斥，容斥，容斥。

思路

考虑设 \(f_{i,j}\) 为第一次在 \(i,j\) 相遇的方案数。

发现答案为：

\[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f_{i,j}f_{n-i+1,m-j+1} \]

考虑走到 \((i,j)\) 并相遇的方案数：

\[\binom{n+j+j-3}{i-1,j-1,n-i,j-1} \]

但是这样有可能在前面就相遇了。

我们可以发现，相遇只会在一行发生，所以可以容斥。

有：

\[\begin{align} f_{i,j}&=\binom{n+j+j-3}{i-1,j-1,n-i,j-1}-\sum_{k<j}f_{i,k}\binom{2\times j-2\times k}{j-k}\\ &=\frac{(n+j+j-3)!}{(i-1)!(j-1)!(n-i)!(j-1)!}-\sum_{k<j}f_{i,k}\frac{(j+j-k-k)!}{(j-k)!(j-k)!} \end{align} \]

套路地，令 \(f_{i,j}=\frac{g_{j}}{(i-1)!(n-i)!}\)。

有：

\[\begin{align} g_{j}&=\frac{(n+j+j-3)!}{(j-1)!(j-1)!}-\sum_{k<j}g_{k}\frac{(j+j-k-k)!}{(j-k)!(j-k)!} \end{align} \]

那么答案为：

\[\begin{align} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f_{i,j}f_{n-i+1,m-j+1}\\ &=\sum_{i=1}^n \frac{1}{(i-1)!(n-i)!(n-i)!(i-1)!} \sum_{j=1}^m g_{j}g_{m-j+1}\\ \end{align} \]

分治 ntt 处理即可。

时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include "atcoder/convolution"
using namespace std;

const int mod = 998244353;

int n, m;
int f[600010];
int v[600010];
int g[200010];
int h[200010];

inline int power(int x, int y) {
  int res = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;
    x = 1ll * x * x % mod, y >>= 1;
  }
  return res;
}
inline void init(int n) {
  f[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = 1ll * i * f[i - 1] % mod;
  v[n] = power(f[n], mod - 2);
  for (int i = n; i >= 1; i--) v[i - 1] = 1ll * i * v[i] % mod;
}
inline void del(int&x, int y) {
  x = x - y;
  if (x < 0) x += mod;
}
inline void sol(int L, int R, int l, int r) {
  vector<int> a, b;
  int e = R - l;
  for (int i = l; i <= r; i++) a.push_back(g[i]);
  for (int i = 0; i <= e; i++) b.push_back(h[i]);
  a = atcoder::convolution(a, b);
  for (int i = L; i <= R; i++) {
    del(g[i], a[e - R + i]);
  }
}
inline void cdq(int l, int r) {
  if (l < r) {
    int mid = (l + r) >> 1;
    cdq(l, mid);
    sol(mid + 1, r, l, mid);
    cdq(mid + 1, r);
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;
  init(n + m + m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    g[i] = 1ll * f[n + i + i - 3] * v[i - 1] % mod * v[i - 1] % mod;
    h[i] = 1ll * f[i + i] * v[i] % mod * v[i] % mod;
  }
  cdq(1, m);
  int ans1 = 0;
  int ans2 = 0;
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    ans1 = (ans1 + 1ll * g[i] * g[m - i + 1]) % mod;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    ans2 = (ans2 + 1ll * v[i - 1] * v[n - i] % mod * v[i - 1] % mod * v[n - i]) % mod;
  cout << 1ll * ans1 * ans2 % mod << "\n";
}