[ARC112F] Die Siedler 题解

智慧题。

思路

考虑第二种操作。

我们会想到，我们可以先把所有牌转化成第一种牌。

即：

\[one=\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^i 2^{j-1}(j-1)!c_i \]

这就是第一种牌的数量。

然后考虑，我们可以将第一种牌转化为第一种牌，花费的代价为：

\[g=(\prod_{i=1}^n 2^{i-1}(i-1)!)-1 \]

相当于对 \(g\) 取模。

类似的，我们可以把所有牌包也转化为 \([0,g)\) 中的一个整数。

我们现在，就需要用这些东西不断的去凑。

假如我们最初是 \(s\)，想要凑出 \(t\)。

那么依据裴蜀定理。

要求：

\[\gcd(s_i,g)|(t-s) \]

这个怎么解决呢。

我们可以先让 \(p=\gcd(s_i,g)\)。

然后考虑根号分治。

1. \(p> \sqrt g\)

   我们发现在这种情况中，我们暴力枚举 \(s+p\times i\)，只有根号种取值，我们暴力计算每一个数的答案，取个 \(\min\) 就可以了。

2. \(p\le \sqrt g\)

   在这种情况中，由于 \(p\) 很小，我们可以求出每一个余数在 \([0,p)\) 中的答案。

   具体的我们可以让每个点 \(i\) 往后连 \(n\) 条边，表示加一张牌。

   然后就是同余最短路形式，转圈解决即可。

打表发现实际次数远不到根号，所以能过。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int n, m, bg;
int s[55][17];
int f[17];
int b[17];
int c[17];
int a[2000010];
int g[2000010];

inline int sol(int x) {
  if (x == 0) return 1e9;
  int res = 0;
  for (int i = n; i >= 1; i--)
    res += x / f[i], x %= f[i];
  return res;
}

signed main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> c[i];
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      cin >> s[i][j];
  f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    f[i] = f[i - 1] * (i - 1) * 2;
  int g = f[n] * n * 2 - 1;
  int l = f[n] * n * 2 - 1;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int res = 0;
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      res += s[i][j] * f[j];
    g = __gcd(g, res);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) bg += c[i] * f[i];
  if (g <= 1300000) {
    bg %= g;
    for (int i = 0; i < g; i++) a[i] = 7e18;
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = f[i] % g;
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[f[i]] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int lim = __gcd(f[i], g);
      for (int k = 0; k < g; k += lim) {
        for (int j = 0; j < lim; j++) {
          int l = j + k, r = j + k + f[i];
          if (r >= g) r -= g;
          a[r] = min(a[r], a[l] + 1);
        }
      }
      for (int k = 0; k < g; k += lim) {
        for (int j = 0; j < lim; j++) {
          int l = j + k, r = j + k + f[i];
          if (r >= g) r -= g;
          a[r] = min(a[r], a[l] + 1);
        }
      }
    }
    cout << a[bg] << "\n";
  } else {
    int ans = 7e18;
    for (int i = bg % g; i <= l; i += g) {
      ans = min(ans, sol(i));
    }
    cout << ans << "\n";
  }
}