考场降智

忘了二项式定理！！！

\[(x+y)^{\overline{n}} = \sum \dbinom{n}{i}x^{\overline{i}}y^{\overline{n-i}} \]

证明：\(\displaystyle \text{R.H.S.} = n!(-1)^n \sum \dbinom{-x}{i}\dbinom{-y}{n - i} = n! (-1)^n \dbinom{-x-y}{n} = \text{L.H.S.}\)

18. 盒子里有 \(a\) 个白球，\(b\) 个黑球，每次拿一个球后，放回 \(c+1\) 个与该球同色的球。问：
    (1) 第 \(n\) 次拿白球的概率；
    (2) 若 \(k<n\)，第 \(k\) 次拿了白球后，求第 \(n\) 次拿白球的概率。

第一小问都一点不会！菜死了。

记 \(\displaystyle w_{n, k} = \frac{a(a+c)\cdots (a+(k-1)c) b(b+c)\cdots (b+(n-k-1)c)}{(a+b)(a+b+c)\cdots(a+b+(n-1)c)} = \frac{(a / c)^{\overline{k}}(b / c)^{\overline{n - k}}}{((a + b) / c)^{\overline{n}}}\)

则前 \(n\) 轮中取出 \(k\) 次白球的概率为 \(\dbinom{n}{k}w_{n, k}\)。

\[\begin{aligned} ans_1 &= \sum_{k}\dbinom{n - 1}{k}w_{n, k + 1} = \sum_{k}\dbinom{n - 1}{k - 1}w_{n, k} \\ &= \sum_{k}\dbinom{n - 1}{k - 1}\frac{(a / c)^{\overline{k}}(b / c)^{\overline{n - k}}}{((a + b) / c)^{\overline{n}}} \\ &= \frac{a}{c}\sum_{k}\dbinom{n - 1}{k - 1}\frac{(a / c + 1)^{\overline{k - 1}}(b / c)^{\overline{n - k}}}{((a + b) / c)^{\overline{n}}} = \frac{a}{c} \frac{((a + b) / c + 1)^{\overline{n - 1}}}{((a + b) / c)^{\overline{n}}} = \frac{a}{a + b} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} ans_2 * ans_1 &= \sum_{i, j}\dbinom{k - 1}{i - 1}\dbinom{n - k - 1}{j - 1} w_{n, i + j} \\ &= \sum_{d} w_{n, d}\sum_{i}\dbinom{k - 1}{i - 1}\dbinom{n - k - 1}{d - i - 1} \\ &= \sum_{d} \dbinom{n - 2}{d - 2} w_{n, d} = \sum_{d}\dbinom{n - 2}{d - 2}\frac{(a / c)^{\overline{d}}(b / c)^{\overline{n - d}}}{((a + b) / c)^{\overline{n}}} \\ &= \frac{a(a+c)}{c^2}\sum_{d}\dbinom{n - 2}{d - 2}\frac{(a / c + 2)^{\overline{d - 2}}(b / c)^{\overline{n - d}}}{((a + b) / c)^{\overline{n}}} = \frac{a(a+c)}{c^2}\frac{((a + b) / c + 2)^{\overline{n - 2}}}{((a + b) / c)^{\overline{n}}} = \frac{a(a+c)}{(a+b)(a+b+c)} \end{aligned}\]

也能发现概率和次序无关，故第一小题答案等价于第一轮抽到白的概率，第二小题答案等价于第一轮抽到白前提下和第二轮抽到白的概率。

就这么简单！我是大傻逼

caotamade

为什么水滴不在地面上

为什么写出了 \(F = m\dot{x}\)

傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼傻逼