有限域上向量空间中的组合计数

摘抄自 Combinatorics of Vector Spaces over Finite Fields

一、\(\mathbb F_q\) 上的 \(n\) 维向量空间含有的向量计数

在这里讲一些线性代数的预备知识与符号定义。

由 \(m \times n\) 个数排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的数表称为 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，简称 \(m \times n\) 矩阵，

域是一个具有加法和乘法的代数结构，其中非零元素均可逆，且满足交换，结合，分配律等。若一个域的元素个数有限，则称其为有限域。

一个包含 \(q\) 个元素的有限域存在当且仅当 \(q\) 是某个素数的幂，并且此时在同构意义下恰好仅有一个大小为 \(q\) 的域，这个域用 \(\mathbb F_q\) 表示。

例如，\(\mathbb F_p = \mathbb Z / p\mathbb Z\) 指的是模 \(p\) 意义下的运算，构成大小为 \(p\) 有限域。

一个线性空间 \(V\) 由一个域和一个阿贝尔群构成，分别构成数乘运算和加法运算。有限域上的有限维向量空间包含有限个向量，接下来的计数围绕其展开。

对于任意域 \(F\)，维数 \(n\) 确定的线性空间在同构意义下是唯一的。因此不失一般性，我们可以统计坐标空间 \(\mathbb F_q ^ n = \{(a_1, a_2, \cdots, a_n \mid a_i \in \mathbb F_q)\}\)。

\(\mathbf{Theorem\ 1.1}\)：\(\mathbb F_q ^ n\) 中 \(n\) 维向量的数量显然是 \(q ^ n\) 啦 (>v<)

\(\mathbf{Definition\ 1.2}\)：记 \(\operatorname{span}(v_1, v_2, \cdots)\) 为 \(v_1, v_2, \cdots\) 线性组合张成的空间，\(\operatorname{dim} V\) 为 \(V\) 的维度。

二、\(\mathbb F_q ^ n\) 上的向量组成的线性无关有序列表计数

呐，这也挺 easy 的嘛！依次决定每一个向量，第 \(i\) 个向量不能落在前 \(i - 1\) 个向量张成的空间中，乘法原理 DA☆ZE~

由定理 \(1\)，前 \(i - 1\) 个向量线性无关，故张成一个 \(i - 1\) 维的向量空间，大小为 \(q ^ {i - 1}\)，可选的向量数即为 \(q ^ n - q ^ {i - 1}\)。

\(\mathbf{Definition\ 2.1}\)：记 \(((n)_k)_q\) 为 \(\mathbb F_q ^ n\) 上的向量组成线性无关的长为 \(k\) 的有序列表的方案数。

\(\mathbf{Theorem\ 2.2}\)：\(\displaystyle ((n)_k)_q = \prod_{i = 0} ^ {k - 1} (q ^ n - q ^ i)\)。

由此，我们引入一些 q-analog，即 q-模拟的概念。q-模拟是是经典数学对象的一种参数化推广，在 \(q \to 1\) 时退化成普通的组合版本。

\(\mathbf{Definition\ 2.3}\)：\([n]_q := 1 + q + \cdots + q ^ {n - 1}, [n]_q! := [n]_q[n - 1]q \cdots [1]_q\)，其中 \([0]_q! := 1\)，前者称为 q-整数，后者称为 q-阶乘。

这些概念可能很突兀，但是马上它就会发挥很大的威力，顺带，易知有 \(\displaystyle [n]_q = \frac{1 - q ^ n}{1 - q}, [n]_q! = \frac{1}{(1 - q) ^ n}\prod_{i = 1} ^ n (1 - q ^ i)\)。

现在我们可以重写 \(\displaystyle ((n)_k)_q = \prod_{i = 0} ^ {k - 1} (q ^ n - q ^ i) = \frac{(q - 1) ^ k q ^ {\tbinom{k}{2}}[n]_q!}{[n - k]_q!}\)，可以发现其形式类似下降幂。

顺带的，我们有组合意义，\([n]_q!\) 中 \(q^k\) 项系数为 \(n!\) 种排列中逆序对数恰为 \(k\) 的排列的数量。

三、\(\mathbb F_q ^ n\) 维数为 \(k\) 的子空间数量

从 \(\mathbb F_q ^ n\) 中钦定一组基的方案数是 \(((n)_k)_q\)，而一个维数为 \(k\) 的子空间可以钦定出 \(((k)_k)_q\) 种不同的基，故：

\(\mathbf{Definition\ 3.1}\)：\(\displaystyle \dbinom{n}{k}_q := \frac{((n)_k)_q}{((k)_k)_q} = \frac{[n]_q!}{[k]_q![n - k]_q!}\)，称为 q-组合数。

显然，\(\dbinom{n}{k}_q\) 是普通二项式系数的 q-模拟版本。

\(\mathbf{Theorem\ 3.2}\): \(\mathbb F_q ^ n\) 中维数为 \(k\) 的子空间数量为 \(\displaystyle \dbinom{n}{k}_q\)。

四、长为 \(m\) 的 \(\mathbb F_q^n\) 序列张成的空间维数为 \(k\) 的方案数 / \(\mathrm F_q\) 上的元素构成的秩为 \(k\) 的 \(m \times n\) 矩阵计数

先挑选出 \(\mathbb F_q^n\) 的一个子空间 \(\mathbb F_q^k\)，然后只需考虑长为 \(m\) 的 \(\mathbb F_q^k\) 序列张成的空间维数为 \(k\) 的方案数。

考虑行秩等于列秩，即为长为 \(k\) 的 \(\mathbb F_q^m\) 序列秩为 \(k\)，即线性无关的方案数，为 \(((m)_k)_q\)。

\(\mathbf{Theorem}\ 4.2\)：\(\mathrm F_q\) 上的元素构成的秩为 \(k\) 的 \(m \times n\) 矩阵数量等于 \(\displaystyle \frac{((m)_k)_q((n)_k)_q}{((k)_k)_q}\)。

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以下是一个稍微严肃一些的证明：

\(\mathbf{Definition}\ 4.1.1\)：记 \(U \to V\) 的线性映射所构成的集合为 \(\mathcal L(U, V)\)。

\(\mathbf{Lemma}\ 4.1.2\)：\(T \in \mathcal L(U, V)\) 由 \(U\) 一组线性无关的基 \(u_i\) 和 \(Tu_i = v_i\) 唯一确定（被 \(\operatorname{dim} U \times \operatorname{dim} V\) 的矩阵唯一确定）。

\(\mathbf{Corollary}\ 4.1.3\)：\(|\mathcal L(\mathbb F_q^n, \mathbb F_q^m)| = |\mathcal L(\mathbb F_q^m, \mathbb F_q^n)| = |\mathbb F_q^m|^n = q^{nm}\)。

长为 \(m\) 的 \(\mathbb F_q^k\) 序列张成的空间维数为 \(k\)，对应了一个线性满射 \(T \in \mathcal L(\mathbb F_q^m, \mathbb F_q^k)\)。

\(\mathbf{Definition}\ 4.1.4\)：域 \(\mathbb F\) 上有限维向量空间 \(V\) 的对偶空间是由 \(V\) 到 \(\mathbb F\) 的线性函数构成的空间，即 \(V^* = \mathcal L(V, F)\)，有 \(\operatorname{dim}V = \operatorname{dim}V^*\)。

\(\mathbf{Definition}\ 4.1.5\)：设 \(T \in \mathcal L(U, V)\)，其的对偶映射 \(T^* \in \mathcal L(V^*, U^*)\)，满足 \(T^*(\varphi) = \varphi \circ T\)。

考虑线性满射 \(T \in \mathcal L(U, V)\) 的对偶，依 \(U\) 在 \(T\) 诱导的等价关系下形成与 \(V\) 一一对应的无交并，由 \((T^*(\varphi))(T^{-1}(v)) = \varphi(v)\) 可以说明 \(T^*\) 是一个单射。

故线性满射 \(T \in \mathcal L(\mathbb F_q^m, \mathbb F_q^k)\) 的数量和线性单射 \(T \in \mathcal L(\mathbb F_q^k, \mathbb F_q^m)\) 的数量相等，都为 \(((m)_k)_q\)。

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有一些等价表述：

\(\mathbf{Definition}\ 4.3.1\)：对于 \(T \in \mathcal L(U, V)\)，定义零空间和像空间 \(\operatorname{null} T := T^{-1}(0_V),\ \operatorname{range} T := T(U)\)。

\(\mathbf{Lemma}\ 4.3.2\)：对于 \(T \in \mathcal L(U, V)\)，\(\operatorname{dim} \operatorname{null} T + \operatorname{dim} \operatorname{range} T = \operatorname{dim} U\)。

\(\mathbf{Definition}\ 4.3.3\)：定义 \(\mathcal L(U) := \mathcal L(U, U)\)。

对于 \(S, T \in \mathcal L(\mathbb{F}_{q}^{n})\)，定义 \(S \sim_{R} T\) 当且仅当 \(\operatorname{range} S = \operatorname{range} T\)。

\(\mathbf{Corollary}\ 4.3.4\)：

• \(\dbinom{n}{k}_q\)，是以维数为 \(k\) 的子空间为值域的等价类数量。
• \(\displaystyle \sum_k \dbinom{n}{k}_q\)，是等价类的总数。
• \(((n)_k)_q\)，是以某个维数为 \(k\) 的子空间为值域的等价类中线性映射的数量。
• \(\dbinom{n}{k}_q((n)_k)_q\)，是以维数为 \(k\) 的子空间为值域的等价类中线性映射的总数。
• \(\displaystyle \sum_k \dbinom{n}{k}_q((n)_k)_q\)，是线性映射的总数，故数值上为 \(q^{n^2}\)。

\(\mathbf{Definition}\ 4.3.5\)：记 \(\mathbb{F}_{q}^{n,n}\) 为 \(\mathbb{F}_{q}\) 上所有 \(n \times n\) 矩阵的集合。

\(\mathbf{Corollary}\ 4.3.6\)：

• \(\displaystyle \sum_k \dbinom{n}{k}_q\)，是 \(\mathbb F_q^{n, n}\) 中行等价矩阵等价类的数量。
• \(((n)_k)_q\)，是 \(\mathbb F_q^{n, n}\) 中能行化简到某个特定秩为 \(k\) 的的矩阵的矩阵数。
• \(\dbinom{n}{k}_q((n)_k)_q\)，是 \(\mathbb F_q^{n, n}\) 中秩为 \(k\) 的矩阵总数。

五、Galois 数与 q-帕斯卡恒等式

\(\mathbf{Definition}\ 5.1\)：令 \(\mathcal{G}_n(q)\) 表示 \(\mathbb{F}_q^n\) 中所有子空间的集合，定义 Galois 数 \(G_n(q) := |\mathcal{G}_n(q)|\)。

显然，\(\displaystyle G_n(q) = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{i}_q\)。

集合的所有子集个数是 \(\displaystyle \sum \dbinom{n}{i} = 2^n\)，则 \(G_n(q)\) 是其的 q-模拟版本。

\(\mathbf{Definition}\ 5.2.1\)：设 \(V\) 是 \(U\) 的子空间，记商空间 \(U / V := \{x + V \mid x \in U\}\)。

\(\mathbf{Lemma}\ 5.2.2\)：设 \(V\) 是 \(U\) 的子空间，存在 \(U\) 包含 \(V\) 的子空间到 \(U / V\) 的子空间自然的双射。

考虑 \(\dbinom{n}{k}_q\) 代表了 \(\mathbb F_q^n\) 的 \(k\) 维子空间数量，钦定 \(0 \neq v \in \mathbb F_q^n\)，则：

包含 \(v\) 的 \(k\) 维子空间数量为 \(\mathbb F_q^n / \operatorname{span}(v)\) 的 \(k - 1\) 维子空间数量，即 \(\dbinom{n-1}{k-1}_q\)；

而类似 \(3.2\)，不包含 \(v\) 的 \(k\) 维子空间数量为 \(\displaystyle \frac{(q^n - q)(q^n - q^2)\cdots(q^n - q^k)}{((k)_k)_q} = q^k\frac{((n-1)_k)_q}{((k)_k)_q} = q^k\dbinom{n-1}{k}_q\)。

两类相加，我们就得到了 q-帕斯卡恒等式：

\(\mathbf{Theorem}\ 5.3\)：\(\displaystyle \dbinom{n}{k}_q = q^k \dbinom{n-1}{k}_q + \dbinom{n-1}{k-1}_q\)。

同样的，考虑 \(\mathbb F_q^{n+1}\) 中包含 \(v\) 的子空间数为 \(G_n(q)\)，而不包含 \(v\) 的子空间数为 \(\displaystyle \sum_{k} q^k \dbinom{n}{k}_q\)。

考虑组合意义，\(\dbinom{n}{k}_q\) 是 \(k\) 维子空间的数量，\(q^k\) 是 \(k\) 维子空间的向量数，因此：

\[\sum_{k} q^k \dbinom{n}{k}_q = \sum_{U \in \mathcal G_n(q)} \left(1 + \sum_{0 \neq v \in U} 1\right) = G_n(q) + \sum_{0 \neq v \in \mathbb F_q^n} \sum_{v\in U\in\mathcal G_n(q)} 1 = G_n(q) + (q^n - 1)G_{n-1}(q) \]

\(\mathbf{Theorem}\ 5.4\)：\(\displaystyle G_{n+1}(q) = 2G_n(q) + (q^n - 1)G_{n-1}(q)\)。

六、q-组合数在群论下的组合意义

\(\mathbf{Definition}\ 6.1.1\)：一般线性群 \(GL_n(\mathbb F_q)\) 是 \(\mathbb F_q^n\) 上所有可逆线性变换构成的群。

\(\mathbf{Definition}\ 6.1.2\)：自同构群 \(\operatorname{Aut}(V)\) 是 \(V\) 上保持线性空间性质的自同构构成的群。

\(\mathbf{Lemma}\ 6.1.3\)：\(GL_n(\mathbb F_q)\) 到 \(\operatorname{Aut}(\mathbb F_q^n)\) 上存在自然的双射。

由于线性变换可逆和线性变换满秩等价，\(|GL_n(\mathbb F_q)| = ((n)_n)_q\)。

\(\mathbf{Definition}\ 6.1.4\)：定义 \(\gamma_n(q) = |\operatorname{Aut}(V)| = |GL_n(\mathbb F_q)| = ((n)_n)_q\)。

计算可知 \(\gamma_n(q) = (q-1)^n q^{\binom n 2} [n]_q!\)，\(\dbinom{n}{k}_q = \dfrac{\gamma_n(q)}{\gamma_k(q)\gamma_{n-k}(q)}q^{-k(n-k)}\)