一类通过寻找区间关键点从而弱化子区间的限制而优化复杂度的问题

感觉很深刻啊！感觉那么不可做的问题，分个类突然就十分容易了啊！

CF1801G

给定一个字符串 \(t\) 和 \(n\) 个字符串 \(s_1, s_2, s_3, \dots, s_n\)

\(m\) 次询问 \(t[l_i, r_i]\) 中出现了多少次 \(s_1, s_2, \dots, s_n\) 中的字符串

Solution

考虑寻找最后一个点 \(q \in [l, r]\) 使得存在 \(p < l\) 使得 \(t[p, q] = s_i\)

从而对于任意 \(y \in (q, r]\)，直接预处理以 \(y\) 为右端点的 \(s_i\) 个数即可，而 \([l, q]\) 内的 \(s_i\) 个数相当于 \([p, q]\) 的一个后缀，\(\sum |s_i|\) 预处理即可

nfls 2024-1-13 模拟赛 螺旋

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(q\) 次询问 \([l, r]\) 内最长的子段 \([p, q]\) 使得 \(\max(a_{p \sim q}) = a_p = a_q\)

Solution

考虑寻找区间 \([l, r]\) 的第一个最大值 \(p\) 和最后一个最大值 \(q\)

则最大值的贡献为 \(q - p + 1\)，并且在 \([p, q]\) 之间的数字是无用的，并预处理 \([l, p)\) 作为左端点与 \((q, r]\) 作为右端点的答案即可

[HNOI2016] 序列

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(q\) 次询问，区间 \([l, r]\) 的不同子区间的最小值之和

Solution

考虑寻找区间 \([l, r]\) 的最小值 \(a_x = p\)，则其有 \((x - l + 1)(r - x + 1)p\) 的贡献

对于最小值左边的 \(u \in [l, x)\)，则对于 \(v \ge x\)，\(\min(a_{u \sim v}) = \min(a_{x \sim v})\)，考虑预处理 \(u\) 作为左端点的答案之和 \(f\)，则 \(u\) 的贡献即为 \(f_u - f_x\)，右侧同理即可