后缀数组基础题套路赏析

好久没写博客了，最近学了一下后缀数组，感觉收获颇丰，于是想写一篇博客纪念一下。特此申明一下，这里用的板子是YZH大佬的SAIS模板，然后小标题和题目用的是罗穗骞大佬2009年国集论文中的标题和例题，%%%。

单个字符串的相关问题

不可重叠最长重复子串

首先当然是对所有后缀进行排序，然后我们考虑二分答案，假设当前的长度是 \(l\)，那么我们可以把排好序的后缀分成几段，其中每一段的lcp(height)都是大于等于\(l\)的，于是我们记录一下每一段后缀中rl(sa)的最大值和最小值，如果最大值和最小值的差大于\(l\)，那么就说明有不重叠的重复子串，反之则不然，这样的做法是\(O(n\log n)\)的。当然，我们还可以有\(O(n)\)的做法，在尺取的同时，用单调队列维护一下rl(sa)的最大值和最小值，并且答案就是所有符合条件的lcp(height)的最大值。

Musical Theme

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可重叠的k次最长重复子串

首先可以用同上题的做法，二分答案\(l\)，对于lcp(height)大于等于\(l\)的每一段，看看是否长度超过\(k\)，同样，这个方法的复杂度是\(O(n\log n)\)的。但是我们可以发现，用尺取，每次取长度为\(k\)的一段，同样可以把复杂度优化到\(O(n)\)。

Milk Patterns

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子串的个数

我们可以发现，对于后缀排序是\(i\)的后缀，以rl[i](sa[i])作为开头，并且以lcp[i](height[i])及其之前最为结尾的所有子串都会被重复计算，于是我们就不去记这一段对答案的贡献，于是我们所要求的答案就是\(\displaystyle\sum_{i=1}^nn-rl[i]+1-lcp[i]\)，显然这样的做法的复杂度是\(O(n)\)的。

DISUBSTR - Distinct Substrings

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最长回文子串

我们考虑把一整个字符串复制一段并且翻转，接在原字符串的后面，中间用一个没出现过的字符连接，然后我们对这个新的字符串进行后缀排序，于是我们可以通过枚举中心节点来更新答案，其中中心节点需要根据长度的奇偶性来分类枚举，由于\(ST\)表预处理的复杂度是\(O(n\log n)\)的，所以这个做法的整体复杂度也是\(O(n\log n)\)的。当然，如果能够把\(RMQ\)的复杂度降为\(O(1)\)，那么就可以把整体复杂度降到\(O(n)\)，具体的话就是笛卡尔树＋\(Tarjan\)。

Palindrome

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连续重复子串

通过观察可以发现，如果一个串的连续重复子串的长度为\(l\)，那么有串\(s[1]\)和\(s[l+1]\)的\(lcp\)等于\(n-l\)，所以就只需要枚举一下总长度的因子就行，然后\(lcp\)可以用\(ST\)表求得，这样做的复杂度是\(O(n\log n)\)的。当然还能进行优化，由于\(RMQ\)的一端是固定的，于是可以用一个数组\(O(n)\)处理，这样就可以把复杂度降到\(O(n)\)。

Power Strings

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重复次数最多的连续重复子串

我们考虑枚举长度\(l\)为重复周期，那么就可以发现\(s[1],s[1+l],\cdots,s[1+x\times l]\)一定会在一个连续重复子串中，于是对于\(s[1+a\times l]\)和\(s[1+a\times l+l]\)，他们的\(lcp\)就是最长能往后延伸的长度，如果\(lcp\)不能被\(l\)整除，就看看能否往前再延伸一小段距离使得当前的答案增加一，然后算一下复杂度是\(\displaystyle O\left(\sum_{i=1}^n{n\over i}\right)\)即\(O(n\log n)\)的。

Maximum repetition substring

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REPEATS - Repeats

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两个字符串的相关问题

最长公共子串

我们考虑把两段用一个没出想过的字符连起来，把这个新的字符串进行后缀排序。可以发现，最长公共子串一定出现在相邻两串的\(lcp\)中，这样的复杂度是\(O(n)\)的。

Long Long Message

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Freedom of Choice

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长度不小于k的公共子串的个数

我们先按之前的方法连接字符串并且进行后缀排序，然后对于两个位于不同串的后缀，他们对答案的贡献很好处理，但是有这么多后缀，于是考虑怎么优化。我们首先对于每一个串\(B\)的后缀，计算它与它之前出现过的串\(A\)的后缀对答案的贡献，然后对串\(A\)也是同样，同时我们可以用一个单调栈进行优化，这样的复杂度是\(O(n)\)的。

Common Substrings

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多个字符串的相关问题

出现在不小于k个字符串中的最长子串

我们先把所有串都连在一起，并且中间用没出现过的并且互不相同的字符相连，然后对新串进行后缀排序，然后同样我们可以二分长度\(l\)，对于lcp大于等于\(l\)的每一段，看是否出现在不少于\(k\)个串中，这样的复杂度是\(O(n\log n)\)的，当然可以参照之前的方法，用尺取＋单调队列把复杂度优化到\(O(n)\)。